Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC, BG cắt AC tại N, CG cắt AB tại E

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow GA = \frac{2}{3}AM\)

Mà GA = GG' (G là trung điểm của AG') nên \( \ GG' = \frac{2}{3}AM\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow GB = \frac{2}{3}BN\)

Mặt khác: \( \ GM = \frac{1}{2}AG\) (G là trọng tâm)

AG = GG' (gt) \( \Rightarrow GM = \frac{1}{2}GG'\)

M là trung điểm GG'

Do đó \(\Delta GMC = \Delta G'MB\) vì: \(\left\{ \begin{array}{l} GM = MG'\\ MB = MC\\ \widehat {GMC} = \widehat {G'MB} \end{array} \right.\)

Mà \(CG = \frac{2}{3}CE\) (G là trọng tâm tam giác ABC)

\( \Rightarrow BG' = \frac{2}{3}CE\)

Vậy mỗi cạnh của tam giác BGG' bằng \(\frac{2}{3}\) đường trung tuyến của tam giác ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC

Ta có: BM là đường trung tuyến của tam giác BGG'

mà M là trung điểm của BC nên \(BM = \frac{1}{2}BC\)

Vì \(IG = \frac{1}{2}BG\)  (I là trung điểm BG)

\(GN = \frac{1}{2}BG\) (G là trọng tâm)

Suy ra: IG = GN

Do đó: \(\Delta IGG' = \Delta NGA\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IG' = AN \Rightarrow IG' = \frac{{AC}}{2}\)

Gọi I là trung điểm BG, khi đó GI là trung tuyến của tam giác BGG'

Vì \(GE = \frac{1}{2}GC\) (G là trọng tâm tam giác ABC)

\( \Rightarrow GE = \frac{1}{2}BG\\\)

Mà I là trung điểm BG' suy ra KG'=EG

Vì \(\Delta GMC = \Delta G'BM\) (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\) (so le trong)

\( \Rightarrow CE\parallel BG' \Rightarrow \widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (đồng vị)

Do đó \(\Delta AGE = \Delta GG'K\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A{\rm{E}} = GK\)

Mà \(A{\rm{E}} = \frac{1}{2}AB\) nên  \(G{\rm{K}} = \frac{1}{2}AB\)

Vậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG' bằng một nửa cạnh của tam giác ABC

-- Mod Toán 7