Bài tập 4 trang 45 SGK Toán 10 NC

Bài tập 4 trang 45 SGK Toán 10 NC

a) Ta có :

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(f(x_2) – f(x_1) = x_2^2 + 2x_2 – 2 – (x_1^2 + 2x_1 – 2)\)
 \(= x_2^2 – x_1^2 + 2(x_2 – x_1) = (x_2 – x_1)(x_1 + x_2 + 2)\)
\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì \(x_1<-1\) và \(x_2<-1\) nên \(x_1+x_2+2<0\) nên \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số \(y=x^2+2x-2\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - 1; + \infty } \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\) (vì \(x_1>-1; x_2>-1\)

b) Ta có :

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ;  1} \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(f(x_2) – f(x_1) \)

\(= (-2x_2^2 + 4x_2 + 1) – (-2x_1^2 + 4x_1 + 1)\)

\(= -2(x_2^2 - x_1^2) + 4(x_2 - x_1) \)

\(= 2(x_2 - x_1)(2 – x_1 – x_2)\)

\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2\left( {2 - {x_1} - {x_2}} \right)\)

Vì \(x_1 < 1\) và \(x_2 < 1\) nên \(2 - x_1 – x_2 > 0\)

Vậy hàm số \(y = -2x^2 + 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { 1; + \infty } \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2\left( {2 - {x_1} - {x_2}} \right) < 0\) (vì \(x_1>1\) và \(x_2>1\))

Vậy hàm số \(y=-2x^2+4x+1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

c) Ta có :

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { - \infty ;  3} \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \frac{2}{{{x_2} - 3}} - \frac{2}{{{x_1} - 3}}\\
 = \frac{{2\left( {{x_1} - 3} \right) - 2\left( {{x_2} - 3} \right)}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}} = \frac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 2}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}}\) (vì \(x_1<3; x_2<3\) nên \((x_1-3)(x_2-3)>0\))

\( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số \(y = \frac{2}{{x - 3}}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\)

+ Với mọi \({x_1};{x_2} \in \left( { 3; + \infty } \right)\) và \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 2}}{{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right)}} < 0\) (vì \(x_1 > 3; x_2 > 3\) nên \((x_1 – 3)(x_2 – 3) > 0\))
Vậy hàm số \(y = \frac{2}{{x - 3}}\) nghịch biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\)

-- Mod Toán 10