Trang chủ Đề thi & kiểm tra Lớp 12 Toán học Trắc nghiệm Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng có đáp án !!

Trắc nghiệm Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng có đáp án !!

Toán học - Lớp 12

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 1 Lũy thừa

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 2 Hàm số lũy thừa

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 4 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 6 Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 1 Nguyên hàm

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 2 Tích phân

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 Số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 Cộng, trừ và nhân số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Bài 3 Phép chia số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Bài 4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 1 Khái niệm về khối đa diện

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3 Khái niệm về thể tích khối đa diện

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 2 Bài 2 Khái niệm về mặt tròn xoay

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 2 Bài 2 Mặt cầu

Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 2 Phương trình mặt phẳng

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Khối đa diện

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu 1 : Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A. $\frac{800}{3} c m^{2}$

B. $\frac{400}{3} c m^{2}$

C. $\frac{1600}{3} c m^{2}$

D. $800 c m^{2}$

Câu 2 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R, f(0)=0 và $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x \cos x$ với mọi $x \in R$ . Giá trị của tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x f' (x) d x$ bằng:

A. $- \frac{π}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{π}{4}$

D. $- \frac{1}{4}$

Câu 3 : Cho hàm số f (x) thỏa mãn ${(f' (x))}^{2} + f (x) . f'' (x) = 15 x^{4} + 12 x, \forall x \in R$ và $f (0) = f' (0) = 1$ . Giá trị của $f^{2} (1)$ bằng

A. 4

B. 8

C. 10

D. $\frac{5}{2}$

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và $f (0) + f (1) = 0$ . Biết $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} f' (x) \cos π x d x = \frac{π}{2}$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{3 π}{2}$

B. $\frac{2}{π}$

C. $π$

D. $\frac{1}{π}$

Câu 5 : Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{A B}{C D}$ bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

D. $\frac{3}{1 + 2 \sqrt{2}}$

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f(1)=4 và $f (x) = x f' (x) - 2 x^{3} - 3 x^{2}$ . Tính giá trị f(2)

A. 5

B. 20

C. 10

D. 15

Câu 7 : Sân trường THPT chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích $S_{1}, S_{3}$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_{2}, S_{4}$ dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là $150.000 đ ồ n g / m^{2}$ , kinh phí trồng cỏ là $100.000 đ ồ n g / m^{2}$ . Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

A. 3.000.000 đồng

B. 6.060.000 đồng

C. 3.270.000 đồng

D. 5.790.000 đồng

Câu 8 : Cho f (x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn $\{\begin{matrix} f (x) . f (a - x) = 1 \\ f (x) > 0, \forall x \in [0; a] \end{matrix}$ và $\int_{0}^{a} \frac{d x}{1 + f (x)} = \frac{b a}{c}$ , trong đó b, c là hai số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (11;12)

B. (0;9)

C. (7;21)

D. (2017;2020)

Câu 9 : Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh (1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.

A. s = 6 (km)

B. s = 8(km)

C. $s = \frac{46}{3}$ (km)

D. $s = \frac{40}{3}$ (km)

Câu 10 : Biết rằng $I = \int_{1}^{e} \frac{\ln^{2} x + \ln x}{{(\ln x + x + 1)}^{3}} d x = \frac{a e^{2} + b e - 12}{8 {(e + 2)}^{2}}$ với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b – a bằng

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 11 : Ông A có mảnh đất hình chữ nhật ABCD có $A B = 2 π (m), A D = 5 (m)$ . Ông muốn trồng hoa trên giải đất có giới hạn bởi hai đường trung bình MN và đường hình sin (như hình vẽ). Biết kinh phí trồng hoa là $100.000 đ ồ n g / m^{2}$ . Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên giải đất đó?

A. 1.000.000 đồng

B. 800.000 đồng

C. 1.600.000 đồng

D. 400.000 đồng

Câu 12 : Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $(C_{1}) : y = \frac{2}{3} x^{3} - 3 m x^{2} - 2 m^{3}$ và $(C_{2}) : y = - \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} - 5 m^{2} x$ . Gọi N, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S khi $m \in [1; 3]$ . Tính N – n?

A. $N - n = \frac{1}{12}$

B. $N - n = \frac{20}{3}$

C. $N - n = \frac{13}{12}$

D. $N - n = \frac{16}{3}$

Câu 13 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $5 x^{2} + 12 x + 16 = m (x + 2) \sqrt{x^{2} + 2}$ có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện $2017^{2 x + \sqrt{x + 1}} - 2017^{2 + \sqrt{x + 1}} + 2018 x \leq 2018$

A. $m \in (2 \sqrt{6}; 3 \sqrt{3})$

B. $m \in [2 \sqrt{6}; 3 \sqrt{3}]$

C. $m \in (3 \sqrt{3}; \frac{11}{3} \sqrt{3}) \cup \{2 \sqrt{6}\}$

D. $m \in (2 \sqrt{6}; \frac{11}{3} \sqrt{3})$

Câu 14 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f’(x) cho như hình dưới đây. Đặt $g (x) = 2 f (x) - (x + 1)^{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng.

A. $\underset{[- 3; 3]}{m i n} g (x) = g (1)$

B. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} g (x) = g (1)$

C. $\underset{[- 3; 3]}{m a x} g (x) = g (3)$

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g (x) trên đoạn [-3;3]

Câu 15 : Cho hàm số $f (x) \neq 0; f' (x) = (2 x + 1) . f^{2} (x)$ và f(1)=-0,5. Tính tổng $f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (2017) = \frac{a}{b}$ ; $(a \in Z; b \in N)$ với $\frac{a}{b}$ tối giản. Chọn khẳng định đúng:

A. $\frac{a}{b} < - 1$

B. $a \in (- 2017; 2017)$

C. b-a = 4035

D. a+b = -1

Câu 16 : Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 4 - x^{2}$ , trục hoành và đường thẳng x=-2, x=m, (-2<m<2). Tìm số giá trị của tham số m để $S = \frac{25}{3}$

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Câu 17 : Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $f (x) > 0, \forall x \in R$ . Biết f(0)=1 và $\frac{f' (x)}{f (x)} = 2 - 2 x$ . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)=m có hai nghiệm thực phân biệt

A. m > e

B. $0 < m \leq 1$

C. 0 < m < e

D. 1 < m < e

Câu 18 : Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và hai đường thẳng y=a, y=b (0<a<b) (hình vẽ). Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a (phần tô đen); $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P), đường thẳng y = a và đường thẳng y = b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì $S_{1} = S_{2}$ :

A. $b = \sqrt[3]{4} a$

B. $b = \sqrt[3]{2} a$

C. $b = \sqrt[3]{3} a$

D. $b = \sqrt[3]{6} a$

Câu 19 : Cho hàm số f (x) liên tục, không âm trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ , thỏa mãn $f (0) = \sqrt{3}$ và $f (x) . f' (x) = \cos x \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in [0; \frac{π}{2}]$ . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f (x) trên đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]$

A. $m = \frac{\sqrt{21}}{2}, M = 2 \sqrt{2}$

B. $m = \frac{5}{2}, M = 3$

C. $m = \frac{\sqrt{5}}{2}, M = \sqrt{3}$

D. $m = \sqrt{3}, M = 2 \sqrt{2}$

Câu 20 : Cho f(x) liên tục trên R và $f (2) = 16, \int_{0}^{1} f (2 x) d x = 2$ . Tích phân $\int_{0}^{2} x f' (x) d x$ bằng

A. 28

B. 30

C. 16

D. 36

Câu 21 : Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] và thỏa mãn $f (1) = 0; \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{e}{2}$

B. $\frac{e - 1}{2}$

C. $\frac{e^{2}}{4}$

D. $e - 2$

Câu 22 : Cho $f (x) = \frac{x}{\cos^{2} x}$ trên $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ và F(x) là một nguyên hàm của hàm số $x f ’ (x)$ thỏa mãn F(0)=0. Biết $a \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thỏa mãn $\tan a = 3$ . Tính $F (a) - 10 a^{2} + 3 a$

A. $\frac{1}{2} \ln 10$

B. $- \frac{1}{4} \ln 10$

C. $- \frac{1}{2} \ln 10$

D. ln10

Câu 23 : Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện $4 x . f (x^{2}) + 3 f (1 - x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ . Tích phân $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. $I = \frac{π}{6}$

B. $I = \frac{π}{16}$

C. $I = \frac{π}{4}$

D. $I = \frac{π}{20}$

Câu 24 : Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f (2) = - \frac{1}{5}$ và $f' (x) = x^{3} {[f (x)]}^{2}$ với mọi $x \in R$ . Giá trị của f(1) bằng

A. $- \frac{4}{35}$

B. $- \frac{71}{20}$

C. $- \frac{79}{20}$

D. $- \frac{4}{5}$

Câu 25 : Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + \frac{3}{4}$ và $g (x) = d x^{2} + e x - \frac{3}{4}$ $(a, b, c, d \in R)$ . Biết rằng đồ thị của hàm số y=f(x) và y=g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đã cho có diện tích bằng:

A. $\frac{253}{48}$

B. $\frac{125}{24}$

C. $\frac{125}{48}$

D. $\frac{253}{24}$

Câu 26 : Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;5) và có trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại của đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó

A. 15(km)

B. $\frac{35}{3} (k m)$

C. 12(km)

D. $\frac{32}{3} (k m)$

Câu 27 : Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $f (2) = - 2, \int_{0}^{2} f (x) d x = 1$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{4} f' (\sqrt{x}) d x$

A. I = -18

B. I = -5

C. I = 0

D. I = -10

Câu 28 : Cho nửa đường tròn đường kính $A B = 4 \sqrt{5}$ . Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:

A. $V = \frac{π}{5} (800 \sqrt{5} - 928) c m^{3}$

B. $V = \frac{π}{15} (800 \sqrt{5} - 928) c m^{3}$

C. $V = \frac{π}{3} (800 \sqrt{5} - 928) c m^{3}$

D. $V = \frac{π}{15} (800 \sqrt{5} - 464) c m^{3}$

Câu 29 : Cho hàm số f(x) xác định trên $R \ \{\pm 1\}$ thỏa mãn $f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ . Biết $f (- 3) + f (3) = 0$ và $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2$ . Giá trị $T = f (- 2) + f (0) + f (4)$ bằng:

A. $T = \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}$

B. $T = 2 + \frac{1}{2} \ln \frac{5}{9}$

C. $T = 3 + \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}$

D. $T = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}$

Câu 30 : Biết $\int_{0}^{\frac{π}{4}} x . \cos 2 x d x = a + b π$ với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a + 2b

A. 0

B. 1

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{8}$

Câu 31 : Biết tich phân $I = \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x = a e^{2} + b$ (a, b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a + b là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. 0

Câu 32 : Tích phân $\int_{0}^{100} x . e^{2 x} d x$ bằng

A. $\frac{1}{4} (199 e^{200} + 1)$

B. $\frac{1}{4} (199 e^{200} - 1)$

C. $\frac{1}{2} (199 e^{200} + 1)$

D. $\frac{1}{2} (199 e^{200} - 1)$

Câu 33 : Cho tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} s i n x d x$ . Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn $I = \frac{e^{\frac{π}{2}} + a}{b}$ . Chọn kết luận đúng:

A. a-b = -1

B. a+b = 1

C. a+b = 2

D. a-b = 0

Câu 34 : Tích phân $\int_{0}^{π} (3 x + 2) c o s^{2} x d x$ bằng

A. $\frac{3}{4} π^{2} - π$

B. $\frac{1}{4} π^{2} - π$

C. $\frac{3}{4} π^{2} - π$

D. $\frac{3}{4} π^{2} + π$

Câu 35 : Cho $I = \int_{0}^{1} (x + \sqrt{x^{2} + 15}) d x = a + b \ln 3 + c \ln 5$ với a,b,c thuộc Q. Tính tổng a+b+c

A. 1

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $- \frac{1}{3}$

Câu 36 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và f(1)=4. Tích phân $\int_{0}^{1} x f' (x) d x$ có giá trị là:

A. $- \frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. -1

Câu 37 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn $f (4 - x) = f (x), \forall x \in [1; 3]$ và $\int_{1}^{3} x f (x) d x = - 2$ . Giá trị $2 \int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng:

A. 1

B. -1

C. -2

D. 2

Câu 38 : Cho hàm số y=f(x) biết $f (0) = \frac{1}{2}$ và $f' (x) = x {e^{x}}^{2}$ với mọi x thuộc R. Khi đó $\int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng:

A. $\frac{e + 1}{2}$

B. $\frac{e - 1}{2}$

C. $\frac{e - 1}{4}$

D. $\frac{e + 1}{4}$

Câu 39 : Cho tích phân $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\ln (3 \sin x + \cos x)}{\sin^{2} x} d x = m . \ln \sqrt{2} + n . \ln 3 - \frac{π}{4}$ , tổng m + n:

A. 12

B. 10

C. 8

D. 6

Câu 40 : Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng $[0; + \infty)$ thỏa mãn $3 f (x) + f' (x) = \sqrt{1 + 3 e^{- 2 x}}$ biết $f (0) = \frac{11}{3}$ . Giá trị $f (\frac{1}{2} \ln 6)$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{5 \sqrt{6}}{18}$

C. 1

D. $\frac{5 \sqrt{6}}{9}$

Câu 41 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $\int_{1}^{9} \frac{f (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x = 4, \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x = 2$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{3} f (x) d x$

A. 6

B. 4

C. 10

D. 2

Câu 42 : Biết $\int_{0}^{1} \frac{π . x^{3} + 2^{x} + e . x^{3} . 2^{x}}{π + e . 2^{x}} d x = \frac{1}{m} + \frac{1}{e \ln n} \ln (p + \frac{e}{e + π})$ với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p

A. S = 6

B. S = 5

C. S = 7

D. S = 8

Câu 43 : Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ . Giá trị của $\int_{- 2}^{2} \frac{f (x)}{3^{x} + 1} d x$ bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 6

Câu 44 : Tính $I = \int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

A. $I = \frac{1}{5} {(x^{3} + 1)}^{2} \sqrt{x^{3} + 1} - \frac{1}{3} (x^{3} + 1) \sqrt{x^{3} + 1} + C$

B. $I = \frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{2} \sqrt{x^{3} + 1} - \frac{2}{3} (x^{3} + 1) \sqrt{x^{3} + 1} + C$

C. $I = \frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{2} \sqrt{x^{3} + 1} + C$

D. $I = \frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{2} \sqrt{x^{3} + 1} + (x^{3} + 1) \sqrt{x^{3} + 1} + C$

Câu 45 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

A. $\int f (x) d x = e^{x^{3} + 1} + C$

B. $\int f (x) d x = 3 e^{x^{3} + 1} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Câu 46 : Cho $I = \int \frac{\sin 2 x + \sin x}{\sqrt{1 + 3 \cos x}} d x = F (x)$ . Giá trị của $F (\frac{π}{2}) - F (0)$ là

A. $\frac{44}{27}$

B. $\frac{13}{27}$

C. $\frac{34}{27}$

D. $\frac{19}{27}$

Câu 47 : Tính $I = \int \frac{\cos^{3} x}{1 + \sin x} d x$ với t = sinx. Tính I theo t?

A. $I = t - \frac{t^{2}}{2} + C$

B. $I = \frac{t^{2}}{2} - t + C$

C. $I = \frac{t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{3} + C$

D. $I = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{3} + C$

Câu 48 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 e^{x} + 3}$ thỏa mãn . Tìm F(x)

A. $F (x) = \frac{1}{3} (x - \ln (e^{x} + \frac{3}{2})) + 10 + \ln 5 - \ln 2$

B. $F (x) = \frac{1}{3} (x + 10 - \ln (2 e^{x} + 3))$

C. $F (x) = \frac{1}{3} (x - \ln (e^{x} + \frac{3}{2})) + 10 - \frac{\ln 5 - \ln 2}{3}$

D. $F (x) = \frac{1}{3} (x - \ln (2 e^{x} + 3)) + 10 + \frac{\ln 5}{3}$

Câu 49 : Cho $I = \int x \sqrt{3 x^{2} + 1} d x = \frac{1}{a} \sqrt{{(3 x^{2} + 1)}^{b}} + C$ . Giá trị a và b lần lượt là:

A. 4 và 3

B. 9 và 3

C. 3 và 9

D. 4 và 9

Câu 50 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}$ là:

A. $2 \sqrt{x^{3} + 4} + C$

B. $\frac{2}{9} \sqrt{{(4 + x^{3})}^{3}} + C$

C. $2 \sqrt{{(4 + x^{3})}^{3}} + C$

D. $\frac{1}{9} \sqrt{{(4 + x^{3})}^{3}} + C$

Câu 51 : Xét $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$ , nếu đặt $t = \sqrt{e^{x} + 1}$ thì $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$ bằng

A. $\int 2 d t$

B. $\int 2 t^{2} d t$

C. $\int t^{2} d t$

D. $\int \frac{d t}{2}$

Câu 52 : Cho $F (x) = \int \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x}} d x$ và $F (3) - F (0) = \frac{a}{b}$ là phân số tối giản, a > 0. Tổng a + b bằng?

A. 6

B. 4

C. 8

D. 5

Câu 53 : Cho nguyên hàm $I = \int \frac{6 \tan x}{\cos^{2} x \sqrt{3 \tan x + 1}} d x$ . Giả sử đặt $u = \sqrt{3 \tan x + 1}$ thì ta được:

A. $I = \frac{4}{3} \int (2 u^{2} + 1) d u$

B. $I = \frac{4}{3} \int (- u^{2} + 1) d u$

C. $I = \frac{4}{3} \int (u^{2} - 1) d u$

D. $I = \frac{4}{3} \int (2 u^{2} - 1) d u$

Câu 54 : Cho $I = \int \frac{\ln^{2} x}{x \sqrt{\ln x + 1}} d x = \frac{2}{15} (b t^{5} + c t^{3} + d . t) + C$ , biết $t = \sqrt{\ln x + 1}$ . Giá trị biểu thức $A = \frac{2}{15} b c d$ là

A. -30

B. -60

C. -45

D. -27

Câu 55 : Cho nguyên hàm $I = \int \frac{e^{2 x}}{(e^{x} + 1) \sqrt{e^{x} + 1}} d x = a (t + \frac{1}{t}) + C$ với $t = \sqrt{e^{x} + 1}$ , giá trị a bằng?

A. -2

B. 2

C. -1

D. 1

Câu 56 : Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ . Khi đó, nếu đặt x=tant thì:

A. $f (x) d x = (1 + \tan^{2} t) d t$

B. $f (x) d x = d t$

C. $f (x) d x = (1 + t^{2}) d t$

D. $f (x) d x = (1 + \cot^{2} t) d t$

Câu 57 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{\sqrt{8 - x^{2}}}$ thỏa mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là:

A. $x = 1 - \sqrt{3}$

B. x = 1

C. x = -1

D. x = 0

Câu 58 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{\ln^{2} x + 1} . \frac{l n x}{x}$ thỏa mãn $F (1) = \frac{1}{3}$ . Giá trị của $F^{2} (e)$ là:

A. $\frac{8}{9}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Câu 59 : Nếu đặt x=sint thì nguyên hàm $\int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ có dạng $\frac{t}{a} - \frac{\sin 4 t}{b} + C$ với a, b thuộc Z. tính tổng S = a + b

A. 10

B. 28

C. 32

D. 40

Câu 60 : Cho hàm số $f (x) = \sqrt{3 - 2 x - x^{2}}$ , nếu đặt $x = 2 \sin t - 1$ , với $0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ thì $\int f (x) d x$ bằng

A. $\int f (x) d x = 4 \int \cos^{2} t d t$

B. $\int f (x) d x = 8 \int \cos^{2} t d t$

C. $\int f (x) d x = \int (1 + \cos 2 t) d t$

D. $\int f (x) d x = 2 t - \sin 2 t + C$

Câu 61 : Cho hàm số liên tục, f(x) > -1, f(0)=0 và thỏa mãn $f' (x) \sqrt{x^{2} + 1} = 2 x \sqrt{f (x) + 1}$ . Tính $f (\sqrt{3})$

A. 0

B. 3

C. 7

D. 9

Lời giải có ở chi tiết câu hỏi nhé! (click chuột vào câu hỏi).

Lớp 12

Toán học

Toán học - Lớp 12

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi hoctapsgk.com Nghe truyện audio Đọc truyện chữ Công thức nấu ăn

Trắc nghiệm Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng có đáp án !!

Câu 2 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R, f(0)=0 và fx+fπ2−x=sinxcosx với mọi x∈R. Giá trị của tích phân ∫0π2xf'xdx bằng:

Câu 3 : Cho hàm số f (x) thỏa mãn f'x2+fx.f''x=15x4+12x,∀x∈R và f0=f'0=1. Giá trị của f21 bằng

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và f0+f1=0. Biết ∫01f2xdx=12,∫01f'xcosπxdx=π2. Tính ∫01fxdx

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f(1)=4 và fx=xf'x−2x3−3x2. Tính giá trị f(2)

Câu 8 : Cho f (x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn fx.fa−x=1fx>0,∀x∈0;a và ∫0adx1+fx=bac, trong đó b, c là hai số nguyên dương và bc là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 10 : Biết rằng I=∫1eln2x+lnxlnx+x+13dx=ae2+be−128e+22 với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b – a bằng

Câu 12 : Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số C1:y=23x3−3mx2−2m3 và C2:y=−13x3−mx2−5m2x. Gọi N, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S khi m∈1;3. Tính N – n?

Câu 13 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 5x2+12x+16=mx+2x2+2 có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện 20172x+x+1-20172+x+1+2018x≤2018

Câu 14 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f’(x) cho như hình dưới đây. Đặt g(x)=2f(x)-(x+1)2. Mệnh đề nào dưới đây đúng.

Câu 15 : Cho hàm số f(x)≠0;f'(x)=(2x+1).f2(x) và f(1)=-0,5. Tính tổng f1+f2+f3+...+f2017=ab; a∈Z;b∈N với ab tối giản. Chọn khẳng định đúng:

Câu 16 : Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=4-x2, trục hoành và đường thẳng x=-2, x=m, (-2<m<2). Tìm số giá trị của tham số m để S=253

Câu 17 : Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(x)>0, ∀x∈R. Biết f(0)=1 và f'(x)f(x)=2-2x. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)=m có hai nghiệm thực phân biệt

Câu 19 : Cho hàm số f (x) liên tục, không âm trên đoạn 0;π2, thỏa mãn f0=3 và f(x).f'(x)=cosx1+f2(x), ∀x∈0;π2. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f (x) trên đoạn π6;π2

Câu 20 : Cho f(x) liên tục trên R và f2=16,∫01f2xdx=2. Tích phân ∫02xf'xdx bằng

Câu 21 : Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] và thỏa mãn f1=0;∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=e2−14. Tính ∫01fxdx

Câu 22 : Cho fx=xcos2x trên −π2;π2 và F(x) là một nguyên hàm của hàm số xf’(x) thỏa mãn F(0)=0. Biết a∈−π2;π2 thỏa mãn tana=3. Tính Fa−10a2+3a

Câu 23 : Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện 4x.fx2+3f1−x=1−x2. Tích phân I=∫01fxdx bằng

Câu 24 : Cho hàm số f(x) thỏa mãn f2=−15 và f'x=x3fx2 với mọi x∈R. Giá trị của f(1) bằng

Câu 27 : Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f2=−2,∫02fxdx=1. Tính tích phân I=∫04f'xdx

Câu 29 : Cho hàm số f(x) xác định trên R\±1 thỏa mãn f'x=1x2−1. Biết f−3+f3=0 và f−12+f12=2. Giá trị T=f−2+f0+f4 bằng:

Câu 30 : Biết ∫0π4x.cos2xdx=a+bπ với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a + 2b

Câu 31 : Biết tich phân I=∫01xe2xdx=ae2+b (a, b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a + b là:

Câu 32 : Tích phân ∫0100x.e2xdx bằng

Câu 33 : Cho tích phân I=∫0π2exsinxdx. Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn I=eπ2+ab. Chọn kết luận đúng:

Câu 34 : Tích phân ∫0π(3x+2)cos2xdx bằng

Câu 35 : Cho I=∫01x+x2+15dx=a+bln3+cln5 với a,b,c thuộc Q. Tính tổng a+b+c

Câu 36 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn ∫01f(x)dx=3 và f(1)=4. Tích phân ∫01xf'(x)dx có giá trị là:

Câu 37 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn f(4-x)=f(x), ∀x∈1;3 và ∫13xf(x)dx=-2. Giá trị 2∫13f(x)dx bằng:

Câu 38 : Cho hàm số y=f(x) biết f0=12 và f'(x)=xex2 với mọi x thuộc R. Khi đó ∫01xf(x)dx bằng:

Câu 39 : Cho tích phân I=∫π4π2ln(3sinx+cosx)sin2xdx=m.ln2+n.ln3-π4, tổng m + n:

Câu 40 : Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng [0;+∞) thỏa mãn 3f(x)+f'(x)=1+3e-2x biết f(0)=113. Giá trị f12ln6 bằng:

Câu 41 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R và ∫19fxxdx=4, ∫0π2f(sinx)cosxdx=2. Tính tích phân I=∫03f(x)dx

Câu 42 : Biết ∫01π.x3+2x+e.x3.2xπ+e.2xdx=1m+1elnnlnp+ee+π với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p

Câu 43 : Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết ∫01f(x)dx=12∫12f(x)dx=1. Giá trị của ∫-22f(x)3x+1dx bằng:

Câu 44 : Tính I=∫3x5x3+1dx

Câu 45 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=x2ex3+1

Câu 46 : Cho I=∫sin2x+sinx1+3cosxdx=Fx. Giá trị của Fπ2−F0 là

Câu 47 : Tính I=∫cos3x1+sinxdx với t = sinx. Tính I theo t?

Câu 48 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=12ex+3 thỏa mãn . Tìm F(x)

Câu 49 : Cho I=∫x3x2+1dx=1a3x2+1b+C. Giá trị a và b lần lượt là:

Câu 50 : Họ nguyên hàm của hàm số fx=x24+x3 là:

Câu 51 : Xét ∫exex+1dx, nếu đặt t=ex+1 thì ∫exex+1dx bằng

Câu 52 : Cho Fx=∫x1+1+xdx và F3−F0=ab là phân số tối giản, a > 0. Tổng a + b bằng?

Câu 53 : Cho nguyên hàm I=∫6tanxcos2x3tanx+1dx. Giả sử đặt u=3tanx+1 thì ta được:

Câu 54 : Cho I=∫ln2xxlnx+1dx=215bt5+ct3+d.t+C, biết t=lnx+1. Giá trị biểu thức A=215bcd là

Câu 55 : Cho nguyên hàm I=∫e2xex+1ex+1dx=at+1t+C với t=ex+1, giá trị a bằng?

Câu 56 : Cho hàm số fx=1x2+1. Khi đó, nếu đặt x=tant thì:

Câu 57 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=x8−x2 thỏa mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là:

Câu 58 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=ln2x+1.lnxx thỏa mãn F1=13. Giá trị của F2e là:

Câu 59 : Nếu đặt x=sint thì nguyên hàm ∫x21−x2dx có dạng ta−sin4tb+C với a, b thuộc Z. tính tổng S = a + b

Câu 60 : Cho hàm số fx=3−2x−x2, nếu đặt x=2sint−1, với 0≤t≤π2 thì ∫fxdx bằng

Câu 61 : Cho hàm số liên tục, f(x) > -1, f(0)=0 và thỏa mãn f'(x)x2+1=2xf(x)+1. Tính f3

Câu 2 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R, f(0)=0 và $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x \cos x$ với mọi $x \in R$ . Giá trị của tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x f' (x) d x$ bằng:

Câu 3 : Cho hàm số f (x) thỏa mãn ${(f' (x))}^{2} + f (x) . f'' (x) = 15 x^{4} + 12 x, \forall x \in R$ và $f (0) = f' (0) = 1$ . Giá trị của $f^{2} (1)$ bằng

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và $f (0) + f (1) = 0$ . Biết $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} f' (x) \cos π x d x = \frac{π}{2}$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f(1)=4 và $f (x) = x f' (x) - 2 x^{3} - 3 x^{2}$ . Tính giá trị f(2)

Câu 10 : Biết rằng $I = \int_{1}^{e} \frac{\ln^{2} x + \ln x}{{(\ln x + x + 1)}^{3}} d x = \frac{a e^{2} + b e - 12}{8 {(e + 2)}^{2}}$ với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b – a bằng

Câu 13 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $5 x^{2} + 12 x + 16 = m (x + 2) \sqrt{x^{2} + 2}$ có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện $2017^{2 x + \sqrt{x + 1}} - 2017^{2 + \sqrt{x + 1}} + 2018 x \leq 2018$

Câu 14 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f’(x) cho như hình dưới đây. Đặt $g (x) = 2 f (x) - (x + 1)^{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng.

Câu 15 : Cho hàm số $f (x) \neq 0; f' (x) = (2 x + 1) . f^{2} (x)$ và f(1)=-0,5. Tính tổng $f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (2017) = \frac{a}{b}$ ; $(a \in Z; b \in N)$ với $\frac{a}{b}$ tối giản. Chọn khẳng định đúng:

Câu 16 : Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 4 - x^{2}$ , trục hoành và đường thẳng x=-2, x=m, (-2<m<2). Tìm số giá trị của tham số m để $S = \frac{25}{3}$

Câu 17 : Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $f (x) > 0, \forall x \in R$ . Biết f(0)=1 và $\frac{f' (x)}{f (x)} = 2 - 2 x$ . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)=m có hai nghiệm thực phân biệt

Câu 20 : Cho f(x) liên tục trên R và $f (2) = 16, \int_{0}^{1} f (2 x) d x = 2$ . Tích phân $\int_{0}^{2} x f' (x) d x$ bằng

Câu 21 : Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] và thỏa mãn $f (1) = 0; \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

Câu 22 : Cho $f (x) = \frac{x}{\cos^{2} x}$ trên $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ và F(x) là một nguyên hàm của hàm số $x f ’ (x)$ thỏa mãn F(0)=0. Biết $a \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thỏa mãn $\tan a = 3$ . Tính $F (a) - 10 a^{2} + 3 a$

Câu 23 : Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện $4 x . f (x^{2}) + 3 f (1 - x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ . Tích phân $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

Câu 24 : Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f (2) = - \frac{1}{5}$ và $f' (x) = x^{3} {[f (x)]}^{2}$ với mọi $x \in R$ . Giá trị của f(1) bằng

Câu 27 : Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $f (2) = - 2, \int_{0}^{2} f (x) d x = 1$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{4} f' (\sqrt{x}) d x$

Câu 29 : Cho hàm số f(x) xác định trên $R \ \{\pm 1\}$ thỏa mãn $f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ . Biết $f (- 3) + f (3) = 0$ và $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2$ . Giá trị $T = f (- 2) + f (0) + f (4)$ bằng:

Câu 30 : Biết $\int_{0}^{\frac{π}{4}} x . \cos 2 x d x = a + b π$ với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a + 2b

Câu 31 : Biết tich phân $I = \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x = a e^{2} + b$ (a, b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a + b là:

Câu 32 : Tích phân $\int_{0}^{100} x . e^{2 x} d x$ bằng

Câu 33 : Cho tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} s i n x d x$ . Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn $I = \frac{e^{\frac{π}{2}} + a}{b}$ . Chọn kết luận đúng:

Câu 34 : Tích phân $\int_{0}^{π} (3 x + 2) c o s^{2} x d x$ bằng

Câu 35 : Cho $I = \int_{0}^{1} (x + \sqrt{x^{2} + 15}) d x = a + b \ln 3 + c \ln 5$ với a,b,c thuộc Q. Tính tổng a+b+c

Câu 36 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và f(1)=4. Tích phân $\int_{0}^{1} x f' (x) d x$ có giá trị là:

Câu 37 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn $f (4 - x) = f (x), \forall x \in [1; 3]$ và $\int_{1}^{3} x f (x) d x = - 2$ . Giá trị $2 \int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng:

Câu 38 : Cho hàm số y=f(x) biết $f (0) = \frac{1}{2}$ và $f' (x) = x {e^{x}}^{2}$ với mọi x thuộc R. Khi đó $\int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng:

Câu 39 : Cho tích phân $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\ln (3 \sin x + \cos x)}{\sin^{2} x} d x = m . \ln \sqrt{2} + n . \ln 3 - \frac{π}{4}$ , tổng m + n:

Câu 40 : Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng $[0; + \infty)$ thỏa mãn $3 f (x) + f' (x) = \sqrt{1 + 3 e^{- 2 x}}$ biết $f (0) = \frac{11}{3}$ . Giá trị $f (\frac{1}{2} \ln 6)$ bằng:

Câu 41 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $\int_{1}^{9} \frac{f (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x = 4, \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x = 2$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{3} f (x) d x$

Câu 42 : Biết $\int_{0}^{1} \frac{π . x^{3} + 2^{x} + e . x^{3} . 2^{x}}{π + e . 2^{x}} d x = \frac{1}{m} + \frac{1}{e \ln n} \ln (p + \frac{e}{e + π})$ với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p

Câu 43 : Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ . Giá trị của $\int_{- 2}^{2} \frac{f (x)}{3^{x} + 1} d x$ bằng:

Câu 44 : Tính $I = \int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Câu 45 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Câu 46 : Cho $I = \int \frac{\sin 2 x + \sin x}{\sqrt{1 + 3 \cos x}} d x = F (x)$ . Giá trị của $F (\frac{π}{2}) - F (0)$ là

Câu 47 : Tính $I = \int \frac{\cos^{3} x}{1 + \sin x} d x$ với t = sinx. Tính I theo t?

Câu 48 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 e^{x} + 3}$ thỏa mãn . Tìm F(x)

Câu 49 : Cho $I = \int x \sqrt{3 x^{2} + 1} d x = \frac{1}{a} \sqrt{{(3 x^{2} + 1)}^{b}} + C$ . Giá trị a và b lần lượt là:

Câu 50 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}$ là:

Câu 51 : Xét $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$ , nếu đặt $t = \sqrt{e^{x} + 1}$ thì $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$ bằng

Câu 52 : Cho $F (x) = \int \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x}} d x$ và $F (3) - F (0) = \frac{a}{b}$ là phân số tối giản, a > 0. Tổng a + b bằng?

Câu 53 : Cho nguyên hàm $I = \int \frac{6 \tan x}{\cos^{2} x \sqrt{3 \tan x + 1}} d x$ . Giả sử đặt $u = \sqrt{3 \tan x + 1}$ thì ta được:

Câu 54 : Cho $I = \int \frac{\ln^{2} x}{x \sqrt{\ln x + 1}} d x = \frac{2}{15} (b t^{5} + c t^{3} + d . t) + C$ , biết $t = \sqrt{\ln x + 1}$ . Giá trị biểu thức $A = \frac{2}{15} b c d$ là

Câu 55 : Cho nguyên hàm $I = \int \frac{e^{2 x}}{(e^{x} + 1) \sqrt{e^{x} + 1}} d x = a (t + \frac{1}{t}) + C$ với $t = \sqrt{e^{x} + 1}$ , giá trị a bằng?

Câu 56 : Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ . Khi đó, nếu đặt x=tant thì:

Câu 57 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{\sqrt{8 - x^{2}}}$ thỏa mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là:

Câu 58 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{\ln^{2} x + 1} . \frac{l n x}{x}$ thỏa mãn $F (1) = \frac{1}{3}$ . Giá trị của $F^{2} (e)$ là:

Câu 59 : Nếu đặt x=sint thì nguyên hàm $\int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ có dạng $\frac{t}{a} - \frac{\sin 4 t}{b} + C$ với a, b thuộc Z. tính tổng S = a + b

Câu 60 : Cho hàm số $f (x) = \sqrt{3 - 2 x - x^{2}}$ , nếu đặt $x = 2 \sin t - 1$ , với $0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ thì $\int f (x) d x$ bằng

Câu 61 : Cho hàm số liên tục, f(x) > -1, f(0)=0 và thỏa mãn $f' (x) \sqrt{x^{2} + 1} = 2 x \sqrt{f (x) + 1}$ . Tính $f (\sqrt{3})$