Bài tập 21 trang 55 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 21 trang 55 SGK Hình học 11 NC
Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD
Định lí Menelaus
Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :
\(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = 1\)
Áp dụng định lí để giải bài toán
Gọi {I} = PR ∩ AC
Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD
Thì {S} = AD ∩ (PQR)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có
\(\frac{{PA}}{{PB}}.\frac{{RB}}{{RC}}.\frac{{IC}}{{IA}} = 1 \Rightarrow 1.2.\frac{{IC}}{{IA}} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \) C là trung điểm của AI.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :
\(\frac{{IC}}{{IA}}.\frac{{QD}}{{QC}}.\frac{{SA}}{{SD}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.1.\frac{{SA}}{{SD}} = 1\)
⇒ SA = 2SD (ĐPCM).
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247