Lý thuyết Bài tập
Câu hỏi:

Bài tập 38 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Chứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó

Áp dụng tính chất: “Trong một hình bình hành, tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh.”

Đặt AB = a, BC = b, AA’ = c (đó là 3 kích thước của hình hộp).

Trong hình bình hành ABC’D’ ta có:

\(AC{'^2} + BD{'^2} = 2\left( {{a^2} + B{{C'}^2}} \right)\) (1)

Trong hình bình hành A’B’CD ta có:

\(A'{C^2} + B'{D^2} = 2({a^2} + B'{C^2})\)  (2)

Cộng (1) và (2) ta được :

\(AC{'^2} + BD{'^2} + A'{C^2} + B'{D^2} = 2(2{a^2} + BC{'^2} + B'{C^2})\) (3)

Mặt khác trong hình bình hành BB’C’C ta có:

\(BC{'^2} + B'{C^2} = 2({b^2} + {c^2})\)  (4)

Thay (4) vào (3) ta được :

\(AC{'^2} + BD{'^2} + A'{C^2} + B'{D^2} \)

\(= 4({a^2} + {b^2} + {c^2})\)  (đpcm).

 

-- Mod Toán 11

Copyright © 2021 HOCTAP247