Bài tập 4 trang 130 SGK Toán 11 NC

Bài tập 4 trang 130 SGK Toán 11 NC

a) Ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{3^n}}}\\
 = \frac{1}{3}.\frac{{n + 1}}{n} = \frac{1}{3}.\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1
\end{array}\)

b) Rõ ràng \({u_n} > 0,\forall n \ge 1\).

Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Với n = 1 ta có \({u_1} = \frac{1}{3} \le \frac{2}{3}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có \({u_k} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^k}\)

Khi đó \({u_{k + 1}} \le \frac{2}{3}{u_k}\) (theo câu a)

\( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le \frac{2}{3}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^k} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 nên (1) đúng với mọi n.

c) Ta có \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\)

Mà \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

-- Mod Toán 11