Bài tập 4 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu 1, 2, 3, ..., n trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a) Gọi un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính \(u_1 , u_2 , u_3\) và \(u_n\).
b) Tính lim\(S_n\) với \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n\) .
Câu a:
Do miếng bìa hình vuông đã cho có cạnh bằng 1 nên hình vuông màu xám thứ 1 có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) do đó diện tích hình vuông thứ nhất: \(u_1=\left ( \frac{1}{2} \right )^2\)
Tương tự như trên ta có \(u_2=\left ( \frac{1}{4} \right )^2=\left ( \frac{1}{2} \right )^4, u_3=\left ( \frac{1}{8} \right )^2=\left ( \frac{1}{2} \right )^6, u_n=\left (\frac{1}{2} \right )^{2n}\)
Câu b:
Ta có \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}^n = \frac{1}{4} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + ...{\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\)
Dễ thấy đây là Cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = \frac{1}{4}\) và công bội \(q = \frac{1}{4}\)
Vậy: \({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}.\)
-- Mod Toán 11
Video hướng dẫn giải bài 4 SGK
Copyright © 2021 HOCTAP247