Bài tập 1 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số \((u_n)\).
b) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6} g\).
Câu a:
Sau chu kì thứ nhất khối lượng chất phóng xạ còn lại là: \(u_1=\frac{1}{2} (kg)\)
Sau chu kì thứ hai khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_2=\left (\frac{1}{2} \right )^2\)
Sau chu kì thứ hai khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_2=\left (\frac{1}{2} \right )^3\)
.......
Sau chu kì thứ n khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_n=\left (\frac{1}{2} \right )^n\)
Như vậy số hạng quát của un là \(u_n=\frac{1}{2^n}\)
Câu b:
Xét (un) biết \(u_n=\frac{1}{2^n}\). Ta thấy khi \(n\rightarrow +\infty\) thì \(2^n\rightarrow +\infty\) nên \(u_n=\frac{1}{2^n}\rightarrow 0\). Vậy \(lim \ u_n =0.\)
Câu c:
Để ý rằng \(10^-6g =10^{-6}.10^{-3} kg=\frac{1}{10^9} kg.\)
Từ trên ta suy ra: Khi \(\frac{1}{2^n}< \frac{1}{10^9}\Leftrightarrow 2^n> 10^9\) thì chất phóng xạ không còn độc hại nữa.
Chọn \({n_0} = 36\) thì \({2^{36}} = {\left( {{2^4}} \right)^9} = {16^9} > {10^9}\)
Vậy, sau chu kì thứ 36 tức là sau 36.24000=864000 năm thì không còn lo lắng về sự độc hại.
-- Mod Toán 11
Video hướng dẫn giải bài 1 SGK
Copyright © 2021 HOCTAP247