Trang chủ Đề thi & kiểm tra Lớp 8 Toán học Các dạng bài tập Toán 8 Chương 2: Phân thức đại số có đáp án !!

Các dạng bài tập Toán 8 Chương 2: Phân thức đại số có đáp án !!

Toán học - Lớp 8

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Trắc nghiệm Bài 2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân - Luyện tập - Toán 8

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1 Nhân đơn thức với đa thức

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 1 Tứ giác

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 2 Nhân đa thức với đa thức

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4 Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 5 Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 10 Chia đơn thức cho đơn thức

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 11 Chia đa thức cho đơn thức

Đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Phạm Công Bình năm học 2019

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 12 Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 2 Hình thang

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 3 Hình thang cân

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 6 Đối xứng trục

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 7 Hình bình hành

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 8 Đối xứng tâm

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 9 Hình chữ nhật

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 11 Hình thoi

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 12 Hình vuông

Câu 1 : Cho phân thức $M = \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a + b + c)^{2} + (a b + b c + c a)^{2}}{(a + b + c)^{2} - (a b + b c + c a)}$

Câu 2 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{(b - c)^{2} + (c - a)^{3} + (a - b)^{3}}{a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)}$

Câu 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}$ là phân số tối giản

Câu 4 : Chứng minh rằng: $1 + x + x^{2} + x^{3} + . . . + x^{31} = (1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) (1 + x^{8}) (1 + x^{16})$

Câu 5 : Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0: $\frac{x^{4} + x^{3} + x + 1}{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}$

Câu 6 : Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0: $\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 10 x^{2} + 9}$

Câu 7 : Rút gọn các phân thức: $A = \frac{1235.2469 - 1234}{1234.2469 + 1235}$

Câu 8 : Rút gọn các phân thức: $B = \frac{4002}{1000.1002 - 999.1001}$

Câu 9 : Rút gọn phân thức: $\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 5 x - 1}{2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 3}$

Câu 10 : Rút gọn phân thức: $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x y + 2 x z - 2 y z}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2}}$

Câu 11 : Rút gọn phân thức: $\frac{(x - y)^{3} - 3 x y (x + y) + y^{3}}{x - 6 y}$

Câu 12 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: $\frac{(n + 1)!}{n! (n + 2)}$

Câu 13 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: $\frac{n!}{(n + 1)! - n!}$

Câu 14 : Rút gọn phân thức: $\frac{a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)}{a b^{2} - a c^{2} - b^{3} + b c^{2}}$

Câu 15 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: $\frac{(n + 1)! - (n + 2)!}{(n + 1)! + (n + 2)!}$

Câu 16 : Rút gọn phân thức: $\frac{x^{3} - y^{3} + z^{3} + 3 x y z}{(x + y)^{2} + (y + z)^{2} + (z - x)^{2}}$

Câu 17 : Rút gọn phân thức: $\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 12 x + 45}{2 x^{3} - 19 x^{2} + 33 x - 9}$

Câu 18 : Rút gọn phân thức: $\frac{x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z}{(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}}$

Câu 19 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{12 n + 1}{30 n + 2}$

Câu 20 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{3 n + 1}{5 n + 2}$

Câu 21 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{2 n + 1}{2 n^{2} - 1}$

Câu 22 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}$

Câu 23 : Chứng minh rằng phân số $\frac{n^{7} + n^{2} + 1}{n^{8} + n + 1}$ không tối giản với mọi số nguyên dương n

Câu 24 : Viết gọn biểu thức dưới dạng một phân thức $(x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) (x^{8} - x^{4} + 1) (x^{16} - x^{8} + 1) (x^{32} - x^{16} + 1)$

Câu 25 : Cho biết x, y, z khác 0 và $\frac{(a x + b y + c z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . Chứng minh $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Câu 26 : Cho biết $a x + b y + c z = 0$ . Rút gọn $A = \frac{b c (y - z)^{2} + c a (x - z)^{2} + a b (x - y)^{2}}{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}$

Câu 27 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(y - z)^{2} + (z - x)^{2} + (x - y)^{2}}$ biết rằng x+y+z=0

Câu 28 : Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x - y}{x + y}$ , biết $x^{2} - 2 y^{2} = x y (y \neq 0; x + y \neq 0)$

Câu 29 : Tính giá trị của phân thức $A = \frac{3 x - 2 y}{3 x + 2 y}$ , biết rằng $9 x^{2} + 4 y^{2} = 20 x y$ và $2 y < 3 x < 0$

Câu 30 : Cho $3 x - y = 3 z$ và $2 x + y = 7 z$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}} (x \neq 0, y \neq 0)$

Câu 31 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{3}{2 x - 1}$

Câu 32 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{5}{x^{2} + 1}$

Câu 33 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{7}{x^{2} - x + 1}$

Câu 34 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{x^{2} - 59}{x + 8}$

Câu 35 : Tìm số hữu tỉ x để phân thức $\frac{10}{x^{2} + 1}$ có giá trị là số nguyên

Câu 36 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$

Câu 37 : Điểm trung bình môn toán của các học sinh nam và nữ hai lớp 8A và 8B được thống kê ở bảng sau:

Câu 38 : Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức $A = \frac{a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} + \frac{b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}$

Câu 39 : Rút gọn biểu thức $B = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + . . . + \frac{2 n + 1}{[n (n + 1)]^{2}}$

Câu 40 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{4}{1 + x^{4}} + \frac{8}{1 + x^{8}}$

Câu 41 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{a x + b}{x^{2} + 1} + \frac{c}{x - 1} (1)$

Câu 42 : Cho $A = \frac{1}{(x + y)^{3}} (\frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{y^{4}})$

Câu 43 : Thực hiện các phép tính $\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$

Câu 44 : Thực hiện các phép tính $\frac{1}{x (x + y)} + \frac{1}{y (x + y)} + \frac{1}{x (x - y)} + \frac{1}{y (y - x)}$

Câu 45 : Thực hiện phép tính: $A = \frac{1}{(a - b) (a - c)} + \frac{1}{(b - a) (b - c)} + \frac{1}{(c - a) (c - b)}$

Câu 46 : Thực hiện phép tính: $B = \frac{1}{a (a - b) (a - c)} + \frac{1}{b (b - a) (b - c)} + \frac{1}{c (c - a) (c - b)}$

Câu 47 : Thực hiện phép tính: $C = \frac{b c}{(a - b) (a - c)} + \frac{a c}{(b - a) (b - c)} + \frac{a b}{(c - a) (c - b)}$

Câu 48 : Thực hiện phép tính: $D = \frac{a^{2}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{2}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{2}}{(c - a) (c - b)}$

Câu 49 : Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên $P = \frac{a^{3}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{3}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{3}}{(c - a) (c - b)}$

Câu 50 : Cho $3 y - x = 6$ . Tính giá trị biểu thức $A = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6}$

Câu 51 : Tìm x, y, z biết rằng: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{4} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{5}$

Câu 52 : Tìm x, y biết rằng $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 4$

Câu 53 : Cho biết:

Câu 54 : Cho $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0 (1)$ và $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2 (2)$

Câu 55 : Cho $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c}$

Câu 56 : Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.

Câu 57 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $A = \frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x - 8}{x - 3}$

Câu 58 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $B = \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Câu 59 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $C = \frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{2} + 2}$

Câu 60 : Rút gọn biểu thức sau với $x = \frac{a}{3 a + 2}$

Câu 61 : Rút gọn biểu thức: $A = \frac{2}{a - b} + \frac{2}{b - c} + \frac{2}{c - a} + \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{(a - b) (b - c) (c - a)}$

Câu 62 : Cho biết $\frac{a + b - c}{a b} - \frac{b + c - a}{b c} - \frac{c + a - b}{c a} = 0$ . Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Câu 63 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b x + x}{x^{2} + 1}$

Câu 64 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 2}$

Câu 65 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x + 1)^{2} (x + 2)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{(x + 1)^{2}} + \frac{c}{x + 2}$

Câu 66 : Rút gọn biểu thức $B = (a b + b c + c a) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) - a b c (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})$

Câu 67 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $M = \frac{1}{a^{2} + 2 b c} + \frac{1}{b^{2} + 2 a c} + \frac{1}{c^{2} + 2 a b}$

Câu 68 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $N = \frac{b c}{a^{2} + 2 b c} + \frac{a c}{b^{2} + 2 a c} + \frac{a b}{c^{2} + 2 a b}$

Câu 69 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $P = \frac{a^{2}}{a^{2} + 2 b c} + \frac{b^{2}}{b^{2} + 2 a c} + \frac{c^{2}}{c^{2} + 2 a b}$

Câu 70 : Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ . Tính giá trị biểu thức $M = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a})$

Câu 71 : Cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ và $a + b + c \neq 0 .$ Tính giá trị của biểu thức: $N = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

Câu 72 : Rút gọn biểu thức $A = (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) . . . (1 - \frac{1}{n^{2}})$

Câu 73 : Rút gọn biểu thức $B = \frac{1^{2}}{2^{2} - 1} . \frac{3^{2}}{4^{2} - 1} . \frac{5^{2}}{6^{2} - 1} . . . \frac{(2 n + 1)^{2}}{(2 n + 2)^{2} - 1}$

Câu 74 : Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n}$

Câu 75 : Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + . . . + \frac{1}{(3 n + 2) (3 n + 5)}$

Câu 76 : Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n (n + 1)}$

Câu 77 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n)}^{2}} < \frac{1}{2}$

Câu 78 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n + 1)}^{2}} < \frac{1}{4}$

Câu 79 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2}{3}$

Câu 80 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{5^{3}} + . . . + \frac{1}{n^{3}} < \frac{1}{12}$

Câu 81 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có $A = (1 + \frac{1}{1.3}) (1 + \frac{1}{2.4}) (1 + \frac{1}{3.5}) . . . (1 + \frac{1}{n (n + 2)}) < 2$

Câu 82 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có $B = (1 - \frac{2}{6}) (1 - \frac{2}{12}) (1 - \frac{2}{20}) . . . (1 - \frac{2}{n (n + 1)}) > \frac{1}{3}$

Câu 83 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{3^{2} - 1}{5^{2} - 1} . \frac{7^{2} - 1}{9^{2} - 1} . \frac{11^{2} - 1}{13^{2} - 1} . . . \frac{43^{2} - 1}{45^{2} - 1}$

Câu 84 : Chứng minh rằng $A = \frac{2^{3} + 1}{2^{3} - 1} . \frac{3^{3} + 1}{3^{2} - 1} . \frac{4^{3} + 1}{4^{3} - 1} . . . \frac{9^{3} + 1}{9^{3} - 1} < \frac{3}{2}$

Câu 85 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , luôn có: $B = \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} . \frac{3^{3} - 1}{3^{2} + 1} . \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} . . . \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} > \frac{2}{3}$

Câu 86 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{(1^{4} + 4) (5^{4} + 4) (9^{4} + 4) . . . (21^{4} + 4)}{(3^{4} + 4) (7^{4} + 4) (11^{4} + 4) . . . (23^{4} + 4)}$

Câu 87 : Rút gọn biểu thức $M = \frac{1}{a^{2} - 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} - 7 a + 12} + \frac{1}{a^{2} - 9 a + 20} + \frac{1}{a^{2} - 11 a + 30}$

Câu 88 : Rút gọn biểu thức $(\frac{n - 1}{1} + \frac{n - 2}{2} + \frac{n - 3}{3} + . . . + \frac{2}{n - 2} + \frac{1}{n - 1}) : (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n})$

Câu 89 : Cho abc = 1 và $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1

Câu 90 : Rút gọn biểu thức $\frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{1 . (2 n - 1)} + \frac{1}{3 . (2 n - 3)} + \frac{1}{5 . (2 n - 5)} + . . . + \frac{1}{(2 n - 3) . 3} + \frac{1}{(2 n - 1) . 1}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{2 n - 1}}$

Câu 91 : Các biểu thức x+y+z và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?

Câu 92 : Chứng minh rằng nếu $a + y + z = a$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}$ thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a

Câu 93 : Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} + \frac{1}{z + 2}$ biết rằng $2 a = b y + c z; 2 b = a x + c z;$ $2 c = a x + b y; a + b + c \neq 0$

Câu 94 : Cho $a b c = 2$ . Rút gọn biểu thức $M = \frac{a}{a b + a + 2} + \frac{b}{b c + b + 1} + \frac{2 c}{a c + 2 c + 2}$

Câu 95 : Cho $\frac{a}{c} = \frac{a - b}{b - c}, a \neq 0,$ $c \neq 0, a - b \neq 0, b - c \neq 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{1}{c} + \frac{1}{a - b} = \frac{1}{b - c} - \frac{1}{a}$

Câu 96 : Cho $a b c = 1$ . Rút gọn biểu thức $N = \frac{a}{a b + a + 2} + \frac{b}{b c + b + 1} + \frac{c}{a c + 2 c + 2}$

Câu 97 : Cho $a + b + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0)$ . Rút gọn biểu thức $B = \frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2} - c^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2} - c^{2} - a^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2} - a^{2} - b^{2}}$

Câu 98 : Cho biết $a + b + c = 0$ , hãy tính giá trị của biểu thức $A = (\frac{a - b}{c} + \frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b}) (\frac{c}{a - b} + \frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a})$

Câu 99 : Cho $a + b + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0)$ . Rút gọn biểu thức $A = \frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{c a} + \frac{c^{2}}{a b}$

Câu 100 : Chứng minh rằng nếu $(a^{2} - b c) (b - a b c) = (b^{2} - a c) (a - a b c)$ và các số a, b, c, a – b khác 0 thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a + b + c$

Câu 101 : Cho $a + b + c = 0, x + y + z = 0, \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0$ . Chứng minh rằng: $a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 0$

Câu 102 : Cho $\frac{x y + 1}{y} = \frac{y z + 1}{z} = \frac{z x + 1}{x}$ . Chứng minh rằng $x = y = z$ hoặc $x^{2} y^{2} z^{2} = 1$

Câu 103 : Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$

Câu 104 : Cho $\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} = 0$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{{(b - c)}^{2}} + \frac{b}{{(c - a)}^{2}} + \frac{c^{2}}{{(a - b)}^{2}} = 0$

Câu 105 : Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$

Câu 106 : Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Câu 107 : Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$

Câu 108 : Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{5} + \frac{1}{x^{5}}$

Câu 109 : Cho $(x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) : (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = a$ . Tính giá trị của biểu thức $M = (x^{4} - \frac{1}{x^{4}}) : (x^{4} + \frac{1}{x^{4}})$ theo a

Câu 110 : Cho $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{x^{4} + x^{2} + 1}{x^{2}}$

Câu 111 : Cho $x = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, y = \frac{a^{2} - (b - c)^{2}}{(b + c)^{2} - a^{2}}$ . Tính giá trị của biểu thức x+y+xy

Câu 112 : Cho $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = a$ . Tính $M = \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ theo a.

Câu 113 : Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a - b = \frac{a}{b}$

Câu 114 : Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a - b = \frac{a}{2 b}$

Câu 115 : Cho dãy số $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .$ sao cho: $a_{2} = \frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1}; a_{3} = \frac{a_{2} - 1}{a_{2} + 1}; . . .; a_{n} = \frac{a_{n - 1} - 1}{a_{n - 1} + 1}$

Câu 116 : Tìm phân số $\frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\frac{m}{n} = \frac{m + k}{n k}$

Câu 117 : Cho hai số nguyên dương a và b, trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho: c=a-b

Câu 118 : Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b

Câu 119 : Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2000?

Câu 120 : Một số a tăng m%, sau đó lại giảm đi n% (a, m, n là các số dương) thì được số b. Tìm liên hệ giữa m và n để b>a

Câu 121 : Chứng minh rằng tổng sau không là số nguyên với mọi số tự nhiên $n \geq 2$

Câu 122 : Chứng minh tổng sau không là số nguyên với mọi số tự nhiên $n \geq 1$

Câu 123 : Phân tích đa thức thành nhân tử $3 x^{2} - 8 x + 4$

Câu 124 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $4 x^{2} - 4 x - 3$

Câu 125 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4$

Câu 126 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $3 x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 5$

Câu 127 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $4 x^{4} + 81$

Câu 128 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $64 x^{4} + y^{4}$

Câu 129 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{5} + x - 1$

Câu 130 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x (x + 4) (x + 6) (x + 10) + 128$

Câu 131 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $A = x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x + 1$

Câu 132 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 14 x + 3$

Câu 133 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Câu 134 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Câu 135 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Câu 136 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Câu 137 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{3} - 7 x - 6 = 0$ bằng nhiều cách

Câu 138 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $27 x^{3} - 27 x^{2} + 18 x - 4$

Câu 139 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $2 x^{3} - x^{2} + 5 x + 3$

Câu 140 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(x^{2} - 3)^{2} + 16$

Câu 141 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{2} + 2 x y + y^{2} - x - y - 12$

Câu 142 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(x^{2} + 2)^{2} - 2 (x^{2} + x) - 15$

Câu 143 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 2) - 12$

Câu 144 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) - 24$

Câu 145 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(x + a) (x + 2 a) (x + 3 a) (x + 4 a) + a^{4}$

Câu 146 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(x^{2} + y^{2} + z^{2}) (x + y + z)^{2} + (x y + y z + z x)^{2}$

Câu 147 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $2 (x^{4} + y^{4} + z^{4}) - (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) (x + y + z)^{2} + (x + y + z)^{4}$

Câu 148 : $(a + b + c)^{3} - 4 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - 12 a b c$ bằng cách đổi biến: đặt $a + b = m, a - b = n$

Câu 149 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $4 x^{4} - 32 x^{2} + 1$

Câu 150 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{6} + 27$

Câu 151 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $3 (x^{4} + x^{2} + 1) - (x^{2} + x + 1)^{2}$

Câu 152 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(2 x^{2} - 4)^{2} + 9$

Câu 153 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $4 x^{2} + 1$

Câu 154 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{4} + 324$

Câu 155 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{5} + x^{4} + 1$

Câu 156 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $4 x^{4} + y^{4}$

Câu 157 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{5} + x + 1$

Câu 158 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{8} + x^{7} + 1$

Câu 159 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{5} - x^{4} - 1$

Câu 160 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{7} + x^{5} + 1$

Câu 161 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{8} + x^{4} + 1$

Câu 162 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{8} + 14 x^{4} + 1$

Câu 163 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{8} + 98 x^{4} + 1$

Câu 164 : Dùng phương pháp xét giá trị riêng:

Câu 165 : Chứng minh rằng tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.

Câu 166 : Chứng minh rằng số $A = (n + 1)^{4} + n^{4} + 1$ chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương

Câu 167 : Cho $A = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ , trong đó a và b là hai số tự nhiên liên tiếp, c=ab. Chứng minh rằng $\sqrt{A}$ là một số tự nhiên lẻ.

Câu 168 : Chứng minh rằng $A = n^{3} (n^{2} - 7) - 36 n$ chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n

Câu 169 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: $a^{2} - a$ chia hết cho 2

Câu 170 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: $a^{3} - a$ chia hết cho 3

Câu 171 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: $a^{5} - a$ chia hết cho 5

Câu 172 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: $a^{7} - a$ chia hết cho 7

Câu 173 : Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1

Câu 174 : Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1

Câu 175 : Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không?

Câu 176 : Các số sau có là số chính phương không?

Câu 177 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức $16^{n} - 1$ chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.

Câu 178 : Chứng minh rằng tồn tại một bội của 2003 có dạng:

Câu 179 : Tìm số dư khi chia $2^{100}$ cho 25

Câu 180 : Tìm số dư khi chia $2^{100}$ cho 9

Câu 181 : Tìm số dư khi chia $2^{100}$ cho 125

Câu 182 : Tìm ba chữ số tận cùng của $2^{100}$ khi viết trong hệ thập phân

Câu 183 : Tìm bốn chữ số tận cùng của $5^{1994}$ khi viết trong hệ thập phân

Câu 184 : Tìm số nguyên x để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B: $A = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 2, B = x^{2} - x$

Câu 185 : Tìm số nguyên dương n để $n^{5} + 1$ chia hết cho $n^{3} + 1$

Câu 186 : Tìm số nguyên n để $n^{5} + 1$ chia hết cho $n^{3} + 1$

Câu 187 : Tìm số tự nhiên n sao cho $2^{n} - 1$ chia hết cho 7

Câu 188 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: $n^{3} + 3 n^{2} + 2 n$ chia hết cho 6

Câu 189 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: $(n^{2} + n - 1)^{2}$ chia hết cho 24

Câu 190 : Chứng minh rằng: $n^{3} + 6 n^{2} + 8 n$ chia hết cho 48 với mọi số chẵn n

Câu 191 : Chứng minh rằng: $n^{4} - 10 n^{2} + 9$ chia hết cho 384 với mọi số lẻ n

Câu 192 : Chứng minh rằng: $n^{6} + n^{4} - 2 n^{2}$ chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

Câu 193 : Chứng minh rằng: $3^{2 n} - 9$ chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n

Câu 194 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a và n thì: $7^{n}$ và $7^{n + 4}$ có hai chữ số tận cùng như nhau

Câu 195 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a và n thì: a và $a^{5}$ có chữ số tận cùng như nhau

Câu 196 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a và n thì: $a^{n}$ và $a^{n + 4}$ có chữ số tận cùng như nhau $(n \geq 1)$

Câu 197 : Tìm điều kiện của số tự nhiên a để $a^{2} + 3 a + 2$ chia hết cho 6

Câu 198 : Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $a^{2} - 1$ chia hết cho 24

Câu 199 : Chứng minh rằng nếu a và b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì $a^{2} - b^{2}$ chia hết cho 3

Câu 200 : Tìm điều kiện của số tự nhiên a để $a^{4} - 1$ chia hết cho 240

Câu 201 : Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ cũng là một số nguyên tố

Câu 202 : Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ . Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là hợp số

Câu 203 : Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab=cd. Chứng minh rằng $a^{5} + b^{5} + c^{5} + d^{5}$ là hợp số

Câu 204 : Cho các số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng: Nếu $a^{2} + b^{2}$ chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.

Câu 205 : Cho các số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng: Nếu $a^{2} + b^{2}$ chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.

Câu 206 : Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ chia hết cho 6

Câu 207 : Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì $a^{5} + b^{5} + c^{5}$ chia hết cho 30

Câu 208 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a+b+c. Chứng minh rằng: $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ chia hết cho 3abc

Câu 209 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a+b+c. Chứng minh rằng: $a^{5} + b^{5} + c^{5}$ chia hết cho 5abc

Câu 210 : Viết số $1995^{1995}$ thành tổng của nhiều số tự nhiên. Tổng các lập phương của ba số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu?

Câu 211 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b thì: $a^{3} b - a b^{3}$ chia hết cho 6

Câu 212 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng $b^{3} + 6 c$ trong đó b và c là các số nguyên

Câu 213 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b thì: $a^{5} b - a b^{5}$ chia hết cho 30

Câu 214 : Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.

Câu 215 : Chứng minh rằng nếu tổng lập phương của ba số nguyên chia hết cho 9 có dư là 0; 1 hoặc 8

Câu 216 : Cho dãy số 7, 13, 25, 43, …, 3n (n - 1) + 7. Chứng minh rằng: trong năm số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng tồn tại một bội số của 25

Câu 217 : Cho dãy số 7, 13, 25, 43, …, 3n (n - 1) + 7. Chứng minh rằng: Không có số hạng nào của dãy là lập phương của một số nguyên.

Câu 218 : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ thì abc chia hết cho 60

Câu 219 : Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì $a^{6} - 1$ chia hết cho 7

Câu 220 : Chứng minh rằng nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì $(n - 1) n (n + 1)$ chia hết cho 504

Câu 221 : Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B với:

Câu 222 : Số sau có phải là chính phương hay không?

Câu 223 : Số sau có phải là chính phương hay không?

Câu 224 : Số sau có phải là chính phương hay không?

Câu 225 : Số sau có phải là chính phương hay không?

Câu 226 : Chứng minh rằng tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương

Câu 227 : Có thể dùng cả năm chữ số 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số chính phương có năm chữ số được không?

Câu 228 : Chứng minh rằng mọi số lẻ đều có thể viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương

Câu 229 : Chứng minh rằng: $A = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + 100^{2}$ không là số chính phương

Câu 230 : Chứng minh rằng: $B = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + 56^{2}$ không là số chính phương

Câu 231 : Chứng minh rằng: C = 1+3+5+7+...+n là số chính phương

Câu 232 : Chứng minh rằng số dư khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x=a

Câu 233 : Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho x-1

Câu 234 : Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức ấy chia hết cho x+1

Câu 235 : Tìm dư khi chia $x^{7} + x^{5} + x^{3} + 1$ cho $x^{2} - 1$

Câu 236 : Chia các đa thức $(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) : (x - 2)$

Câu 237 : Chia các đa thức $(x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 10) : (x + 1)$

Câu 238 : Chia các đa thức $(x^{3} - 7 x^{2} + 6) : (x + 3)$

Câu 239 : Tính giá trị của đa thức $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4$ tại x = 37.

Câu 240 : Chứng minh rằng $x^{8 n} + x^{4 n} + 1$ chia hết cho $x^{2 n} + x^{n} + 1$ , với mọi số tự nhiên n

Câu 241 : Chứng minh rằng $x^{3 m + 1} + x^{3 n + 2} + 1$ chia hết cho $x^{2} + x + 1$ với mọi số tự nhiên m, n.

Câu 242 : Cho $f (x) = (x^{2} + x - 1)^{10} + (x^{2} - x + 1)^{10} - 2$ . Chứng minh rằng f(x) chia hết cho $x^{2} - x$

Câu 243 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì $x^{6 m + 4} + x^{6 n + 2} + 1$ chia hết cho $x^{2} - x + 1$

Câu 244 : Không đặt tính chia đa thức, hãy xét xem đa thức $x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 16$ có hay không chia hết cho:

Câu 245 : Tìm dư khi chia các đa thức sau: $x^{41} : (x^{2} - 1)$

Câu 246 : Tìm dư khi chia $x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$ cho x+1

Câu 247 : Tìm dư khi chia $x + x^{3} + x^{9} + x^{27}$ cho

Câu 248 : Tìm dư khi chia đa thức $f (x) = x^{50} + x^{49} + . . . + x^{2} + x + 1$ cho $x^{2} - 1$

Câu 249 : Tìm dư khi chia $x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$ cho $x^{2} + 1$

Câu 250 : Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x – 3 thì dư 7, f(x) chia cho x – 2 thì dư 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư.

Câu 251 : Khi chia đơn thức $x^{8}$ cho $x + \frac{1}{2}$ thì được thương là B(x) và dư là số $r_{1}$ . Khi chia B(x) cho $x + \frac{1}{2}$ , ta được thương là C(x) và dư là số $r_{2}$ . Tính $r_{2}$

Câu 252 : Chứng minh rằng: $x^{10} - 10 x + 9$ chia hết cho $x - 1$

Câu 253 : Chứng minh rằng: $8 x^{9} - 9 x^{8} + 1$ chia hết cho $x - 1$

Câu 254 : Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x) với:

Câu 255 : Chứng minh rằng đa thức $(x + y)^{6} + (x - y)^{6}$ chia hết cho đa thức $x^{2} + y^{2}$

Câu 256 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, thì $x^{4 n + 2} + 2 x^{2 n + 1} + 1$ chia hết cho ${(x + 1)}^{2}$

Câu 257 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, thì $(x + 1)^{2 n} - x^{2 n} - 2 x - 1$ chia hết cho $x (x + 1) (2 x + 1)$

Câu 258 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, thì $(x + 1)^{4 n + 2} + (x - 1)^{4 n + 2}$ chia hết cho $x^{2} + 1$

Câu 259 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì $(x^{n} - 1) (x^{n + 1} - 1)$ chia hết cho $(x + 1) (x - 1)^{2}$

Câu 260 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì $x^{6 m + 4} + x^{6 n + 2} + 1$ chia hết cho $x^{4} + x^{2} + 1$

Câu 261 : Xác định số k để đa thức $A = x^{3} + y^{3} + z^{3} + k x y z$ chia hết cho đa thức $x + y + z$

Câu 262 : Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên

Câu 263 : Tìm số tự nhiên n sao cho $x^{2 n} + x^{n} + 1$ chia hết cho $x^{2} + x + 1$

Lời giải có ở chi tiết câu hỏi nhé! (click chuột vào câu hỏi).

Lớp 8

Toán học

Toán học - Lớp 8

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi hoctapsgk.com Nghe truyện audio Đọc truyện chữ Công thức nấu ăn

Các dạng bài tập Toán 8 Chương 2: Phân thức đại số có đáp án !!

Câu 1 : Cho phân thức M=(a2+b2+c2)(a+b+c)2+(ab+bc+ca)2(a+b+c)2-(ab+bc+ca)

Câu 2 : Rút gọn biểu thức A=(b-c)2+(c-a)3+(a-b)3a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

Câu 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số n3+2nn4+3n2+1 là phân số tối giản

Câu 4 : Chứng minh rằng: 1+x+x2+x3+...+x31=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16)

Câu 5 : Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0: x4+x3+x+1x4-x3+2x2-x+1

Câu 6 : Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0: x4-5x2+4x4-10x2+9

Câu 7 : Rút gọn các phân thức: A = 1235.2469-12341234.2469+1235

Câu 8 : Rút gọn các phân thức: B = 40021000.1002-999.1001

Câu 9 : Rút gọn phân thức: 3x3-7x2+5x-12x3-x2-4x+3

Câu 10 : Rút gọn phân thức: x2+y2+z2-2xy+2xz-2yzx2-2xy+y2-z2

Câu 11 : Rút gọn phân thức: (x-y)3-3xy(x+y)+y3x-6y

Câu 12 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: (n+1)!n! (n+2)

Câu 13 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: n!(n+1)! -n!

Câu 14 : Rút gọn phân thức: a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)ab2-ac2-b3+bc2

Câu 15 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: (n+1)! - (n+2)!(n+1)! + (n+2)!

Câu 16 : Rút gọn phân thức: x3-y3+z3+3xyz(x+y)2+(y+z)2+(z-x)2

Câu 17 : Rút gọn phân thức: 2x3-7x2-12x+452x3-19x2+33x-9

Câu 18 : Rút gọn phân thức: x3+y3+z3-3xyz(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2

Câu 19 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 12n+130n+2

Câu 20 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 3n+15n+2

Câu 21 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 2n+12n2-1

Câu 22 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: n3+2nn4+3n2+1

Câu 23 : Chứng minh rằng phân số n7+n2+1n8+n+1 không tối giản với mọi số nguyên dương n

Câu 24 : Viết gọn biểu thức dưới dạng một phân thức (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1)

Câu 25 : Cho biết x, y, z khác 0 và (ax+by+cz)2x2+y2+z2=a2+b2+c2. Chứng minh ax=by=cz

Câu 26 : Cho biết ax+by+cz=0. Rút gọn A=bc(y-z)2+ca(x-z)2+ab(x-y)2ax2+by2+cz2

Câu 27 : Rút gọn biểu thức A=x2+y2+z2(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 biết rằng x+y+z=0

Câu 28 : Tính giá trị của biểu thức A = x-yx+y, biết x2-2y2=xy y≠0;x+y≠0

Câu 29 : Tính giá trị của phân thức A = 3x-2y3x+2y, biết rằng 9x2+4y2=20xy và 2y<3x<0

Câu 30 : Cho 3x-y =3z và 2x+y=7z. Tính giá trị của biểu thức M=x2-2xyx2+y2x≠0,y≠0

Câu 31 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên 32x-1

Câu 32 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên 5x2+1

Câu 33 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên 7x2-x+1

Câu 34 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên x2-59x+8

Câu 35 : Tìm số hữu tỉ x để phân thức 10x2+1 có giá trị là số nguyên

Câu 36 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên x+2x2+4

Câu 37 : Điểm trung bình môn toán của các học sinh nam và nữ hai lớp 8A và 8B được thống kê ở bảng sau:

Câu 38 : Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức A=aba2+b2-c2+bcb2+c2-a2+cac2+a2-b2

Câu 39 : Rút gọn biểu thức B=3(1.2)2+5(2.3)2+...+2n+1[n(n+1)]2

Câu 40 : Rút gọn biểu thức A=11-x+11+x+21+x2+41+x4+81+x8

Câu 41 : Xác định các số a, b, c sao cho: 1(x2+1)(x-1)=ax+bx2+1+cx-1(1)

Câu 42 : Cho A=1(x+y)31x4-1y4

Câu 43 : Thực hiện các phép tính x+3x+1-2x-1x-1-x-3x2-1

Câu 44 : Thực hiện các phép tính 1x(x+y)+ 1y(x+y)+ 1x(x-y) + 1y(y-x)

Câu 45 : Thực hiện phép tính: A = 1(a-b)(a-c) + 1(b-a)(b-c) + 1(c-a)(c-b)

Câu 46 : Thực hiện phép tính: B = 1a(a-b)(a-c) + 1b(b-a)(b-c) + 1c(c-a)(c-b)

Câu 47 : Thực hiện phép tính: C = bc(a-b)(a-c) + ac(b-a)(b-c) + ab(c-a)(c-b)

Câu 48 : Thực hiện phép tính: D = a2(a-b)(a-c) + b2(b-a)(b-c) + c2(c-a)(c-b)

Câu 49 : Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên P=a3a-ba-c+b3b-ab-c+c3c-ac-b

Câu 50 : Cho 3y-x=6. Tính giá trị biểu thức A = xy-2 +2x-3yx-6

Câu 51 : Tìm x, y, z biết rằng: x22+y23+z24=x2+y2+z25

Câu 52 : Tìm x, y biết rằng x2+y2+1x2+1y2=4

Câu 53 : Cho biết:

Câu 54 : Cho xa+yb+zc=0 1 và ax+by+cz=2 2

Câu 55 : Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng 1a3+1b3+1c3=3abc

Câu 56 : Cho ab+bc+ca=ba+ac+cb. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.

Câu 57 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: A=2x3-6x2+x-8x-3

Câu 58 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: B=x4-2x3-3x2+8x-1x2-2x+1

Câu 59 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: C=x4+3x3+2x2+6x-2x2+2

Câu 60 : Rút gọn biểu thức sau với x = a3a+2

Câu 61 : Rút gọn biểu thức: A=2a-b+2b-c+2c-a+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2(a-b)(b-c)(c-a)

Câu 62 : Cho biết a+b-cab - b+c-abc - c+a-b ca= 0. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Câu 63 : Xác định các số a, b, c sao cho: 1x(x2+1)=ax+bx+xx2+1

Câu 64 : Xác định các số a, b, c sao cho: 1x2-4=ax-2+bx+2

Câu 65 : Xác định các số a, b, c sao cho: 1(x+1)2(x+2)=ax+1+b(x+1)2+cx+2

Câu 66 : Rút gọn biểu thức B = (ab+bc+ca)1a+1b+1c-abc1a2+1b2+1c2

Câu 67 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và 1a+1b+1c=0. Rút gọn biểu thức: M=1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab

Câu 68 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và 1a+1b+1c=0. Rút gọn biểu thức: N=bca2+2bc+acb2+2ac+abc2+2ab

Câu 69 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và 1a+1b+1c=0. Rút gọn biểu thức: P=a2a2+2bc+b2b2+2ac+c2c2+2ab

Câu 70 : Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và a+bc = b+ca = c+ab. Tính giá trị biểu thức M=1+ab1+bc1+ca

Câu 71 : Cho a3+b3+c3=3abc và a+b+c≠0. Tính giá trị của biểu thức: N=a2+b2+c2a+b+c2

Câu 72 : Rút gọn biểu thức A=1-1221-1321-142...1-1n2

Câu 73 : Rút gọn biểu thức B=1222-1.3242-1.5262-1...(2n+1)2(2n+2)2-1

Câu 74 : Rút gọn biểu thức 11.2 +12.3 +13.4 +...+ 1(n-1)n

Câu 75 : Rút gọn biểu thức 12.5 +15.8 +18.11 +...+ 1(3n+2)(3n+5)

Câu 76 : Rút gọn biểu thức 11.2.3 +12.3.4 +13.4.5 +...+ 1(n-1)n(n+1)

Câu 77 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có: 122+142+162+...+12n2<12

Câu 78 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có: 132+152+172+...+12n+12<14

Câu 79 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có: A=122+132+142+...+1n2<23

Câu 1 : Cho phân thức $M = \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a + b + c)^{2} + (a b + b c + c a)^{2}}{(a + b + c)^{2} - (a b + b c + c a)}$

Câu 2 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{(b - c)^{2} + (c - a)^{3} + (a - b)^{3}}{a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)}$

Câu 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}$ là phân số tối giản

Câu 4 : Chứng minh rằng: $1 + x + x^{2} + x^{3} + . . . + x^{31} = (1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) (1 + x^{8}) (1 + x^{16})$

Câu 5 : Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0: $\frac{x^{4} + x^{3} + x + 1}{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}$

Câu 6 : Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0: $\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 10 x^{2} + 9}$

Câu 7 : Rút gọn các phân thức: $A = \frac{1235.2469 - 1234}{1234.2469 + 1235}$

Câu 8 : Rút gọn các phân thức: $B = \frac{4002}{1000.1002 - 999.1001}$

Câu 9 : Rút gọn phân thức: $\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 5 x - 1}{2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 3}$

Câu 10 : Rút gọn phân thức: $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x y + 2 x z - 2 y z}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2}}$

Câu 11 : Rút gọn phân thức: $\frac{(x - y)^{3} - 3 x y (x + y) + y^{3}}{x - 6 y}$

Câu 12 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: $\frac{(n + 1)!}{n! (n + 2)}$

Câu 13 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: $\frac{n!}{(n + 1)! - n!}$

Câu 14 : Rút gọn phân thức: $\frac{a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)}{a b^{2} - a c^{2} - b^{3} + b c^{2}}$

Câu 15 : Rút gọn phân thức với n là số tự nhiên: $\frac{(n + 1)! - (n + 2)!}{(n + 1)! + (n + 2)!}$

Câu 16 : Rút gọn phân thức: $\frac{x^{3} - y^{3} + z^{3} + 3 x y z}{(x + y)^{2} + (y + z)^{2} + (z - x)^{2}}$

Câu 17 : Rút gọn phân thức: $\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 12 x + 45}{2 x^{3} - 19 x^{2} + 33 x - 9}$

Câu 18 : Rút gọn phân thức: $\frac{x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z}{(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}}$

Câu 19 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{12 n + 1}{30 n + 2}$

Câu 20 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{3 n + 1}{5 n + 2}$

Câu 21 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{2 n + 1}{2 n^{2} - 1}$

Câu 22 : Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: $\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}$

Câu 23 : Chứng minh rằng phân số $\frac{n^{7} + n^{2} + 1}{n^{8} + n + 1}$ không tối giản với mọi số nguyên dương n

Câu 24 : Viết gọn biểu thức dưới dạng một phân thức $(x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) (x^{8} - x^{4} + 1) (x^{16} - x^{8} + 1) (x^{32} - x^{16} + 1)$

Câu 25 : Cho biết x, y, z khác 0 và $\frac{(a x + b y + c z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . Chứng minh $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Câu 26 : Cho biết $a x + b y + c z = 0$ . Rút gọn $A = \frac{b c (y - z)^{2} + c a (x - z)^{2} + a b (x - y)^{2}}{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}$

Câu 27 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(y - z)^{2} + (z - x)^{2} + (x - y)^{2}}$ biết rằng x+y+z=0

Câu 28 : Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x - y}{x + y}$ , biết $x^{2} - 2 y^{2} = x y (y \neq 0; x + y \neq 0)$

Câu 29 : Tính giá trị của phân thức $A = \frac{3 x - 2 y}{3 x + 2 y}$ , biết rằng $9 x^{2} + 4 y^{2} = 20 x y$ và $2 y < 3 x < 0$

Câu 30 : Cho $3 x - y = 3 z$ và $2 x + y = 7 z$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}} (x \neq 0, y \neq 0)$

Câu 31 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{3}{2 x - 1}$

Câu 32 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{5}{x^{2} + 1}$

Câu 33 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{7}{x^{2} - x + 1}$

Câu 34 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{x^{2} - 59}{x + 8}$

Câu 35 : Tìm số hữu tỉ x để phân thức $\frac{10}{x^{2} + 1}$ có giá trị là số nguyên

Câu 36 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$

Câu 38 : Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức $A = \frac{a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} + \frac{b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}$

Câu 39 : Rút gọn biểu thức $B = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + . . . + \frac{2 n + 1}{[n (n + 1)]^{2}}$

Câu 40 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{4}{1 + x^{4}} + \frac{8}{1 + x^{8}}$

Câu 41 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{a x + b}{x^{2} + 1} + \frac{c}{x - 1} (1)$

Câu 42 : Cho $A = \frac{1}{(x + y)^{3}} (\frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{y^{4}})$

Câu 43 : Thực hiện các phép tính $\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$

Câu 44 : Thực hiện các phép tính $\frac{1}{x (x + y)} + \frac{1}{y (x + y)} + \frac{1}{x (x - y)} + \frac{1}{y (y - x)}$

Câu 45 : Thực hiện phép tính: $A = \frac{1}{(a - b) (a - c)} + \frac{1}{(b - a) (b - c)} + \frac{1}{(c - a) (c - b)}$

Câu 46 : Thực hiện phép tính: $B = \frac{1}{a (a - b) (a - c)} + \frac{1}{b (b - a) (b - c)} + \frac{1}{c (c - a) (c - b)}$

Câu 47 : Thực hiện phép tính: $C = \frac{b c}{(a - b) (a - c)} + \frac{a c}{(b - a) (b - c)} + \frac{a b}{(c - a) (c - b)}$

Câu 48 : Thực hiện phép tính: $D = \frac{a^{2}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{2}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{2}}{(c - a) (c - b)}$

Câu 49 : Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên $P = \frac{a^{3}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{3}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{3}}{(c - a) (c - b)}$

Câu 50 : Cho $3 y - x = 6$ . Tính giá trị biểu thức $A = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6}$

Câu 51 : Tìm x, y, z biết rằng: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{4} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{5}$

Câu 52 : Tìm x, y biết rằng $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 4$

Câu 54 : Cho $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0 (1)$ và $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2 (2)$

Câu 55 : Cho $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c}$

Câu 56 : Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.

Câu 57 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $A = \frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x - 8}{x - 3}$

Câu 58 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $B = \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Câu 59 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $C = \frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{2} + 2}$

Câu 60 : Rút gọn biểu thức sau với $x = \frac{a}{3 a + 2}$

Câu 61 : Rút gọn biểu thức: $A = \frac{2}{a - b} + \frac{2}{b - c} + \frac{2}{c - a} + \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{(a - b) (b - c) (c - a)}$

Câu 62 : Cho biết $\frac{a + b - c}{a b} - \frac{b + c - a}{b c} - \frac{c + a - b}{c a} = 0$ . Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Câu 63 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b x + x}{x^{2} + 1}$

Câu 64 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 2}$

Câu 65 : Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x + 1)^{2} (x + 2)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{(x + 1)^{2}} + \frac{c}{x + 2}$

Câu 66 : Rút gọn biểu thức $B = (a b + b c + c a) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) - a b c (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})$

Câu 67 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $M = \frac{1}{a^{2} + 2 b c} + \frac{1}{b^{2} + 2 a c} + \frac{1}{c^{2} + 2 a b}$

Câu 68 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $N = \frac{b c}{a^{2} + 2 b c} + \frac{a c}{b^{2} + 2 a c} + \frac{a b}{c^{2} + 2 a b}$

Câu 69 : Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $P = \frac{a^{2}}{a^{2} + 2 b c} + \frac{b^{2}}{b^{2} + 2 a c} + \frac{c^{2}}{c^{2} + 2 a b}$

Câu 70 : Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ . Tính giá trị biểu thức $M = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a})$

Câu 71 : Cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ và $a + b + c \neq 0 .$ Tính giá trị của biểu thức: $N = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

Câu 72 : Rút gọn biểu thức $A = (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) . . . (1 - \frac{1}{n^{2}})$

Câu 73 : Rút gọn biểu thức $B = \frac{1^{2}}{2^{2} - 1} . \frac{3^{2}}{4^{2} - 1} . \frac{5^{2}}{6^{2} - 1} . . . \frac{(2 n + 1)^{2}}{(2 n + 2)^{2} - 1}$

Câu 74 : Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n}$

Câu 75 : Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + . . . + \frac{1}{(3 n + 2) (3 n + 5)}$

Câu 76 : Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n (n + 1)}$

Câu 77 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n)}^{2}} < \frac{1}{2}$

Câu 78 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n + 1)}^{2}} < \frac{1}{4}$

Câu 79 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2}{3}$

Câu 80 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{5^{3}} + . . . + \frac{1}{n^{3}} < \frac{1}{12}$

Câu 81 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có $A = (1 + \frac{1}{1.3}) (1 + \frac{1}{2.4}) (1 + \frac{1}{3.5}) . . . (1 + \frac{1}{n (n + 2)}) < 2$

Câu 82 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có $B = (1 - \frac{2}{6}) (1 - \frac{2}{12}) (1 - \frac{2}{20}) . . . (1 - \frac{2}{n (n + 1)}) > \frac{1}{3}$