Chương 2: Tổ Hợp - Xác Suất

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số?

b) Hai chứ số?

c) Hai chữ số khác nhau?

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100? Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?

Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình 26. Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần ?

b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ?

Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da,, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?

Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy?

Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?

Có bao cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau?

b) Các bông hoa như nhau?

Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao  nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thằng song song đó ?

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:
a) \((a + 2b)^5\);                         

b) \(\small (a - \sqrt{2})^6\);                           

c) \(\small (x - \frac{1}{x})^{13}\).

Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức: \(\small (x +\frac{2}{x^2} )^6\).

Biết hệ số của x² trong khai triển của \(\small (1 - 3x)^n\) là 90. Tìm n.

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \(\small (x^3 +\frac{1}{x} )^8\)

Từ khai triển biểu thức \(\small (3x - 4)^ {17 }\)thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Chứng minh rằng:
a) \(\small 11^{10} - 1\) chia hết cho 100;

b) \(\small 101^{100} - 1\) chia hết cho 10 000;

c) \(\small \sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.

Gieo một đồng tiền ba lần:

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:

A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp";

B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần";

C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần".

Gieo một con súc sắc hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)};

B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)};

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.

Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau.

A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn";

B: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn".

Hai xạ thủ cùng bắn vào bia.Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2.

a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1 A2:

A: "Không ai bắn trúng";

B: "Cả hai đểu bắn trúng";

C: "Có đúng một người bắn trúng";

D: "Có ít nhất một người bắn trúng".

b) Chứng tỏ rằng \(A = \overline{D}; B\) và C xung khắc.

Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Kí hiệu A, B, c là các biến cố sau:

A: "Lấy được thẻ màu đỏ";

B: "Lấy được thẻ màu trằng";

C: "Lấy được thẻ ghi số chẵn".

Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.

Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:

A = "Số lần gieo không vượt quá ba";

B = "Số lần gieo là bốn".

Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến  cố sau:

A: "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước";

B: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau";

C: "Hai chữ số bằng nhau".

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10";

B: "Mặt % chấm xuất hiện ít nhất một lần".

c) Tính P(A), P(B).

Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: "Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8";

B: "Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp".

c) Tính P(A), P(B).

Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm

b) Phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Từ cỗ bài tứ lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a) Cả bốn con đều là át;

b) Được ít nhất một con át;

c) Được hai con át và hai con K.

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trằng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trằng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trằng";

B là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng".

a) Xét xem A và B có độc lập không.

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp dụng.

Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng.

Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử.

Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau

b) Các chữ số khác nhau.

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng màu

b) Có ít nhất một quả màu trắng

Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.

Cho một lúc giác đề ABCDEF. Viết các chữ cái ABCDEF vào 6 cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:

a) Các cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a) Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ.

Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là:

A. 104         B. 1326              C. 450         D. 24        

Năm người được xếp ngồi vào quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:

A. 50                       B. 100                    C. 120                 D. 24

Gieo một con xúc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:

A. \(\frac{12}{36}\)           B. \(\frac{11}{36}\)      C. \(\frac{6}{36}\)       D. \(\frac{8}{36}\)

Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

A. \(\frac{9}{30}\)            B.\(\frac{12}{30}\)           C.\(\frac{10}{30}\)           D. \(\frac{6}{30}\)

Gieo ba con xúc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:

A. \(\frac{12}{216}\)              B. \(\frac{1}{216}\)            C. \(\frac{6}{216}\)                 D. \(\frac{3}{216}\)

Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:

A. \(\frac{4}{16}\)            B. \(\frac{2}{16}\)        C. \(\frac{1}{16}\)            D. \(\frac{6}{16}\)

Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo) ?

Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?

Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.

a. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

b. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

Từ các số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a. Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) ?

b. Có 4 chữ số khác nhau ?

Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng ? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).

Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?

Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm. Hỏi:

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

b. Có bao nhiêu vecto khác vecto \(\overrightarrow 0 \) mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?

Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.

a. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

b. Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời ?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 ?

Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G, trong đó số viết trên một cạch cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở haiđầu mút của cạnh (h. 2.2). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ?

Xét hồ sơ mạng điện ở hình 2.3 có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở.

Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc để mạng điện thông mạch từ P đến Q (tức là có dòng điện từ P đến Q) ?

Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau.

a. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

b. Nếu kết qủa của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có bốn giải : 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi :

a. Có bao nhiêu kết quả có thể ?

b. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất ?

c. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải ?

Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn, phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Tìm hệ số của x¹⁰¹y⁹⁹ trong khai triển (2x−3y)²⁰⁰

Tính hệ số của x⁵y⁸ trong khai triển (x+y)¹³

Tính hệ số của x⁷ trong khai triển (1+x)¹¹

Tính hệ số của x⁹ trong khai triển (2−x)¹⁹

Khai triển (3x+1)¹⁰ cho tới x³.

Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển của (3−2x)¹⁵

Tính hệ số của x²⁵y¹⁰ trong khai triển của (x³+xy)¹⁵

Biết rằng hệ số của xⁿ⁻² trong khai triển \({\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^n}\) bằng 31. Tìm n.

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A.

c. Tính xác suất của A.

d. Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4.

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để :

a. Số được chọn là số nguyên tố;

b. Số được chọn chia hết cho 3.

Danh sách lớp của Hường được đánh số từ 1 đến 30. Hường có số thứ tự là 12. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp.

a. Tính xác suất để Hường được chọn.

b. Tính xác suất để Hường không được chọn.

c. Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hường được chọn.

Gieo hai con súc sắc cân đối.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A).

c. Cũng hỏi như trên cho các biến cố B: “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” và C “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong một danh sách 20 người được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh có tên trong một danh sách được đánh số thứ tự từ 001 đến 199. Tính xác suất để 5 học sinh này có số thứ tự :

a. Từ 001 đến 099 (tính chính xác đến hàng phần nghìn);

b. Từ 150 đến 199 (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong bốn quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh.

Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của ba bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2.

Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để :

a. Cả ba đồng xu đều sấp ;

b. Có ít nhất một đồng xu sấp ;

c. Có đúng một đồng xu sấp.

Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,20,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập :

a. Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần;

b. Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng txu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để :

a. Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu đều ngửa ;

b. Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa.

Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời không đúng cả 10 câu (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Từ mỗi hòm rút ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 12.

Cho hai biến cố A và B với P(A) = 0,3; P(B) = 0,4; P(AB) = 0,2. Hỏi hai biến cố A và B có

a. Xung khắc hay không ?

b. Độc lập với nhau hay không ?

Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trân là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95 ?

Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.

Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9.

Một cuộc điều tra được tiến hành như sau : Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trên đường và hỏi xem gia đình bạn đó có bao nhiêu người. Gọi X là số người trong gia đình bạn học sinh đó. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không ? Vì sao ?

Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trai trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X (giả thiết là xác suất sinh con trai là 0,5).

Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực .

a. Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy.

b. Tính xác suất để có ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy.

Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa (từ 12 giờ đến 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau :

Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn hai cuộc gọi.

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 44 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 45 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 46 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X.

Số đơn đặt hàng đến trong một ngày ở một công ty vận tải là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a. Tính xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1 ; 4].

b. Tính xác suất để có ít nhất 4 đơn đặt hàng đến công ty đó trong một ngày.

c. Tính số đơn đặt hàng trung bình đến công ty đó trong một ngày.

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a. Tính P(2 < X < 7)

b. Tính P(X > 5)

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính E(X), V(X) và σ(X) (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính E(X), V(X) và σ(X) (tính chính xác đến hàng phần nghìn)

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số (không phải nhất thiết khác nhau) ?

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập nên bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau?

Xét hồ sơ mạng điện có 9 công tắc, trong đó mỗi công tắc có hai trạng thái đóng và mở.

a. Hỏi mạng điện có thể có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên ?

b. Hỏi mạng điện có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên để thông mạch từ A đến B (tức là có dòng điện đi từ A đến B) ?

Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho ?

Một câu lạc bộ có 25 thành viên.

a. Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ?

b. Có bao nhiêu cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch và Thủ quỹ ?

Tìm hệ số của x⁸y⁹ trong khai triển của (3x+2y)¹⁷

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tính xác suất để số đó :

a. Chia hết cho 3

b. Chia hết cho 5

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài này có quân 2 rô, quân 3 pích, quân 6 cơ, quân 10 nhép và quân K cơ.

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài này có ít nhất một quân át (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên hai tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3.

Có 3 hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để :

a. Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 4

b. Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra bằng 6.

Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính xác suất để:

a. Trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi;

b. Trên trang sách có ít nhất 2 lỗi.

Có hai túi, túi thứ nhất chứa ba tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa bốn tấm thẻ đánh số 4, 5, 6, 8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được.

a. Lập bảng phân bố xác suất của X;

b. Tính E(X).

Một nhóm có 7 người trong đó gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số nữ trong 3 người được chọn.

a. Lập bảng phân bố xác suất của X.

b. Tính E(X) và V(X) (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Trong các số nguyên từ 100 đến 999, số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái sang phải) bằng :

A. 120

B. 168

C. 204

D. 216

Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác, cần chọn một kỹ sư làm tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

A. 3780

B. 3680

C. 3760

D. 3520

Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0) ?

A. 1250

B. 1260

C. 1280

D. 1270

Tìm hệ số của \({x^9}\) sau khi khai triển và rút gọn đa thức :

\({\left( {1 + x} \right)^9} + {\left( {1 + x} \right)^{10}} + ... + {\left( {1 + x} \right)^{14}}\)

A. 3001

B. 3003

C. 3010

D. 2901

Hai xạ thủ độc lập với nhau cùng bắn vào một tấm bia. Mỗi người bắn một viên. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất là 0,7; của xạ thủ thứ hai là 0,8. Gọi X là số viên đạn trúng bia. Tính kỳ vọng của X.

A. 1,75

B. 1,5

C. 1,54

D. 1,6