Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\)
Ta có \( - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} \) (vì \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là hai vecto đối nhau) nên
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \)
Dựng D sao cho B là trung điểm của DC, khi đó hai vecto \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BD} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BD,} \) do vậy
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \, \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)
Mặt khác tam giác DAC có BA là đường trung tuyến thoả mãn \(BA = BD = BC \Rightarrow BA = \frac{1}{2}DC\) (vì \(BD = BC\))
\( \Rightarrow \) Tam giác DAC vuông tại A và có AC = a, DC = a + a = 2a.
Áp dụng định lí Pitago ta có \(A{D^2} = D{C^2} - A{C^2} = 3{a^2} \Rightarrow AD = a\sqrt 3 \)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 3 \)
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247