Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
N là trung điểm của CD:
\(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\) (1)
Theo quy tắc 3 điểm, ta có:
\(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\) (2)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)
vì M là trung điểm của Ab nên: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
Suy ra: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)
Chứng minh tương tự, ta có \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
Chú ý: Sau khi chứng minh \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)ta chỉ cần chứng minh thêm \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) cũng được
Ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\) \(=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA}\)
Vì \(\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\)nên ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) và \(2 \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247