Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\), theo hai vectơ sau \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\).
Do tính chất trung điểm nên từ giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \\2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} = 2\vec u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Mặt khác, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \)
\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\((\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} ) + ( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) = 2\vec u + 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\vec u + 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = 2\vec u + 2\vec v\) (4)
Từ (2) và (3) ta có:
\( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\)
Từ (4) và (5) suy ra:
\( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 2\vec u + 2\vec v + 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {BC} = 2\vec u + 4\vec v \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\)
Từ (5) và (6) ta có:
\(\frac{4}{3}\vec u + \frac{8}{3}\vec v\, + \overrightarrow {CA} = 2\vec v \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)\)
Từ (7) và (1), ta có được:
\(\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v = 2\vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)
Kết luận:
\(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)
\(\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\)
\(\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247