Bài tập 9 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 9 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng
a) Tam giác DIL là một tam giác cân;
b) Tổng \(\frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Bài 9 này ta sẽ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và các định lí hình học để chứng minh bài toán.
.png)
Chứng minh câu a.
Ta có: \(\widehat{ADI}=\widehat{IKB}\) (so le trong)
\(\widehat{CDL}=\widehat{IKB}\) (vì cùng phụ với góc L)
Vậy \(\widehat{CDL}=\widehat{ADI}\)
Xét hai tam giác vuông IAD và LCD có:
\(\widehat{IAD}=\widehat{LCD}=90^o\)
\(AD=CD\)
\(\widehat{CDL}=\widehat{ADI}\)
Vậy \(\Delta IAD=\Delta LCD (g.c.g)\)
\(\Rightarrow ID=DL\)
Vậy tam giác DIL vuông tại D.
Chứng minh câu b.
Ta có:
\(DI=DL\Rightarrow \frac{1}{DI^2}=\frac{1}{DL^2}\)
Xét tam giác DKL vuông tại D có đường cao DC, ta có:
\(\frac{1}{CD^2}=\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2}\)
Theo cmt, ta viết lại là:
\(\frac{1}{CD^2}=\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)
Mà hình vuông ABCD cố định nên CD không đổi, vậy:
\(\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\) luôn không đổi khi I thay đổi trên AB!
-- Mod Toán 9
Copyright © 2021 HOCTAP247