Bài tập 16 trang 28 SGK Toán 11 NC

Bài tập 16 trang 28 SGK Toán 11 NC

a)

\(\begin{array}{l}
\sin 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Với điều kiện 0 < x < π ta có:

\(\begin{array}{l}
0 <  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  < \pi \\
 \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}},k \in Z
\end{array}\)

Nên k = 1, khi đó ta có nghiệm \(x = \frac{{11\pi }}{{12}}\)

\(\begin{array}{l}
0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi  < \pi \\
 \Leftrightarrow  - \frac{7}{{12}} < k < \frac{5}{{12}},k \in Z
\end{array}\)

Nên k = 0, khi đó ta có nghiệm \(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng (0;π) là:

\(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\) và \(x = \frac{{11\pi }}{{12}}\)

b)

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {x - 5} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 5 = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\
{x - 5 =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi }\\
{x =  - \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi }
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Ta tìm k để điều kiện – π< x < π được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 - \pi  < \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi \\
 \Leftrightarrow  - 7\pi  - 30 < 12k\pi  < 5\pi  - 30
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow  - \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }}}
\end{array}\)

Vì \( - 1,38 <  - \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi}},k \in Z \) nên \( - 1,38 < k <  - 0,37\)

Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = - 1.

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6} + 5 - 2\pi  = 5 - \frac{{11\pi }}{6}\)

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai:

\(\begin{array}{l}
 - \pi  <  - \frac{\pi }{6} + 5 + k2\pi  < \pi \\
 \Leftrightarrow  - 5\pi  - 30 < 12k\pi  < 7\pi  - 30
\end{array}\) 

Vậy k = −1

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là  \(x =  - \frac{\pi }{6} + 5 - 2\pi  = 5 - \frac{{13\pi }}{6}\)

Vậy \(x = 5 - \frac{{11\pi }}{6},x = 5 - \frac{{13\pi }}{6}\)

-- Mod Toán 11