Bài tập 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

\(sin^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+2=0\Leftrightarrow 1-cos^2\frac{x}{2}- 2cos\frac{x}{2}+2=0\)

\(\Leftrightarrow cos^2\frac{x}{2}+2cos\frac{x}{2}-3=0\)

Đặt \(t=cos\frac{x}{2},-1\leq t\leq 1\), ta có phương trình:

\(t^2+2t-3=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-3 \ \ (loai) \end{matrix}\)

\(t=1\Leftrightarrow cos\frac{x}{2}=1\Leftrightarrow \frac{x}{2}=k2\pi,k\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x=k 4 \pi, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=k 4 \pi, k\in \mathbb{Z}\)

Câu b:

\(8cos^2x+2sinx-7=0\Leftrightarrow 8(1-sin^2x)+2sinx-7=0\)

\(\Leftrightarrow 8-8sin^2x+2sinx-7=0\)

\(\Leftrightarrow 8sin^2x-2sinx-1=0\)

Đặt \(t=sinx,-1\leq t\leq 1\), ta có phương trình:

\(8t^2-2t-1=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{1}{2}\\ \\ t=-\frac{1}{4} \end{matrix} (nhan)\)

• \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{matrix} k\in \mathbb{Z}\)
• \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow sinx=-\frac{1 }{4}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=arcsin \left (-\frac{1 }{4} \right )+k2\pi , k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi -arcsin \left (-\frac{1 }{4} \right )+k2\pi , k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k2\pi\\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi\\ x=arcsin \left ( -\frac{1}{4} \right )+k2\pi \\ x=\pi -arcsin \left ( -\frac{1}{4} \right )+k2\pi \end{matrix},k\in \mathbb{Z}\)

Câu c:

\(2tan^2x+3tanx+1=0\)

Đặt t = tanx (điều kiện \(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathbb{Z}\))

Ta có phương trình: \(2t^2+3t+1=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=-\frac{1}{2} \end{matrix}\)

\(t=-1\Rightarrow tanx=-1\Rightarrow tanx=-tan\frac{\pi }{4}\)

\(\Rightarrow tanx=tan\left ( -\frac{\pi }{4} \right )\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4} +k \pi\) (thoả điều kiện)

\(t=\frac{1}{2}\Rightarrow tanx=\frac{1}{2}\Rightarrow x=arctan \left ( \frac{1}{2} \right ) +k \pi\) (thoả điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-\frac{\pi }{4} +k \pi \\ \\ x=arctan \left ( \frac{1}{2} \right )+k \pi \end{matrix}, (k\in \mathbb{Z})\)

Câu d:

\(tanx-2cotx+1=0\)

Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\\ x\neq k \pi \end{matrix}\right.\) hay \(x\neq k\frac{\pi }{2}, k\in \mathbb{Z}\)

Đặt t = tanx, ta có phương trình:

\(t-\frac{2}{t}+1=0\Rightarrow t^2+t-2=0\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-2 \end{matrix}\)

• \(t=1\Rightarrow tanx=1\)

\(\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)

• \(t=-2\Rightarrow tanx=-2\Rightarrow x=arctan(-2)+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-2)+k \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

-- Mod Toán 11