Bài tập 31 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 31 trang 42 SGK Toán 11 NC
Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = |d| trong đó d = 5sin6t–4cos6t với d được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi:
a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng?
b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất?
(Tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giây).
Ta có
\(\begin{array}{l}
5\sin 6t - 4\cos 6t\\
= \sqrt {41} \left( {\frac{5}{{\sqrt {41} }}\sin 6t - \frac{4}{{\sqrt {41} }}\cos 6t} \right)\\
= \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)
\end{array}\)
trong đó số α được chọn sao cho \(\cos \alpha = \frac{5}{{\sqrt {41} }}\) và \(\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {41} }}\).
Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \(\alpha \approx 0,675\).
a) Vật ở vị trí cân bằng khi d = 0, nghĩa là sin(6t–α) = 0
\( \Leftrightarrow t = \frac{\alpha }{6} + k\frac{\pi }{6},k \in Z\)
Ta cần tìm k nguyên dương sao cho 0 ≤ t ≤ 1
\(\begin{array}{l}
0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\alpha }{6} + k\frac{\pi }{6} \le 1\\
\Leftrightarrow - \frac{\alpha }{\pi } \le k \le \frac{{6 - \alpha }}{\pi }
\end{array}\)
Với \(\alpha \approx 0,675\), ta thu được −0,215 < k < 1,7 nghĩa là \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là:
\(t \approx \frac{\alpha }{6} \approx 0,11\) (giây) và \(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{6} \approx 0,64\) (giây)
b) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi |d| nhận giá trị lớn nhất.
Điều đó xảy ra nếu sin(6t–α) = ±1. Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {6t - \alpha } \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0\\
\Leftrightarrow t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6}
\end{array}\)
Ta tìm k nguyên dương sao cho 0 ≤ t ≤ 1
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6} \le 1}\\
{ \Leftrightarrow - \frac{\alpha }{\pi } - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{6 - \alpha }}{\pi } - \frac{1}{2}}
\end{array}\)
Với \(\alpha \approx 0,675\), ta thu được −0,715 < k < 1,2; nghĩa là k ∈ {0;1}.
Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là:
\(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} \approx 0,37\) (giây)
và \(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + \frac{\pi }{6} \approx 0,90\) (giây)
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247