Bài tập 30 trang 41 SGK Toán 11 NC

Bài tập 30 trang 41 SGK Toán 11 NC

a) Chia 2 vế phương trình cho \(\sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{5}\cos x + \frac{4}{5}\sin x =  - 1\\
 \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha  + \sin x\sin \alpha  =  - 1
\end{array}\)

(trong đó \(\cos \alpha  = \frac{3}{5},\sin \alpha  = \frac{4}{5}\))

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) =  - 1\\
 \Leftrightarrow x - \alpha  = \pi  + k2\pi \\
 \Leftrightarrow x = \pi  + \alpha  + k2\pi ,k \in Z
\end{array}\)

b) Chia 2 vế phương trình cho \(\sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \) ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x = \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \sin 2x\cos \frac{\pi }{4} - \cos 2x\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\
{2x - \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi }\\
{x = \frac{{13\pi }}{{24}} + k\pi }
\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}
\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13\\
 \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\left( {1 + \cos 2x} \right) = 13
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\cos 2x = 16}
\end{array}\)

Chia 2 vế cho ta được:

\(\frac{5}{{\sqrt {34} }}\sin 2x - \frac{3}{{\sqrt {34} }}\cos 2x = \frac{{16}}{{\sqrt {34} }}\)

Do \({\left( {\frac{5}{{\sqrt {34} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{{\sqrt {34} }}} \right)^2} = 1\)

Nên ta chọn được số \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha  = \frac{5}{{\sqrt {34} }},\sin \alpha  = \frac{3}{{\sqrt {34} }}\)

Do đó \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = \frac{{16}}{{\sqrt {34} }} > 1\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

-- Mod Toán 11