Bài tập 38 trang 46 SGK Toán 11 NC

Bài tập 38 trang 46 SGK Toán 11 NC

a)

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} - \frac{{3\left( {1 - \cos 2x} \right)}}{2} = 0\\
 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi 
\end{array}\)

b) Đặt \(t = \tan x + \cot x\) với điều kiện:

\(\left| t \right| = \left| {\tan x} \right| + \left| {\cot x} \right| \ge 2\) 

(BĐT Cô - si)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{t^2} - t = 2 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t =  - 1\left( l \right)}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
t = 2 \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2\\
 \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 2
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {{\tan }^2}x - 2\tan x + 1 = 0}\\
{ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin x + {\sin ^2}\frac{x}{2} = 0,5\\
 \Leftrightarrow \sin x + \frac{{1 - \cos x}}{2} = \frac{1}{2}
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\cos x}\\
{ \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi }
\end{array}\)

trong đó \(\tan \alpha  = \frac{1}{2}\)

-- Mod Toán 11