Bài tập 47 trang 48 SGK Toán 11 NC

Bài tập 47 trang 48 SGK Toán 11 NC

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin 2x + {\sin ^2}x = \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \sin 2x + \frac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right) = \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x = 0\\
 \Leftrightarrow \tan 2x = \frac{1}{2}
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2x = \alpha  + k\pi \) với \(\tan \alpha  = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\alpha }{2} + k\frac{\pi }{2},k \in Z\)

b) \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
2{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x =  - 1}\\
{\tan x =  - \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{x = \alpha  + k\pi }
\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)}
\end{array}\)

(với \(\tan \alpha  =  - \frac{1}{2}\))

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\frac{x}{2} + \sin x - 2{\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - 2{\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{1}{2}
\end{array}\)

Với x mà \(\cos \frac{x}{2}=0\) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos²x2 ta được:

\(\begin{array}{l}
{\tan ^2}\frac{x}{2} + 2\tan \frac{x}{2} - 2 = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)\\
 \Leftrightarrow {\tan ^2}\frac{x}{2} + 4\tan \frac{x}{2} - 5 = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = 1\\
\tan \frac{x}{2} =  - 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{x}{2} = \alpha  + k\pi 
\end{array} \right.\)

với \(\tan \alpha  =  - 5\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = 2\alpha  + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

-- Mod Toán 11