\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) + \cot x = 0\\
\Leftrightarrow \tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \tan \left( {{{90}^0} + x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2x + {10^0} = {90^0} + x + k{180^0}\\
\Leftrightarrow x = {80^0} + k{180^0}
\end{array}
\end{array}\)

Hiển nhiên x = 80⁰+k180⁰ thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 80⁰+k180⁰

c) Đặt t = tanx, với điều kiện cosx ≠ 0.

Ta có \(\sin 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\)

Do đó \(1 + \sin 2x = 1 + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Vậy ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left( {1 - t} \right)\frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}{{1 + {t^2}}} = 1 + t\\
\Leftrightarrow \left( {1 - t} \right){\left( {1 + t} \right)^2} = \left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\
\Leftrightarrow 2{t^2}\left( {1 + t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 0\\
\tan x = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = - \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

d) ĐKXĐ: cosx ≠ 0 và cos2x ≠ 0. Với điều kiện đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin 3x}}{{\cos x\cos 2x}} = \sin 3x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin 3x\left( {\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} - \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 3x = 0\\
\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} = \cos x
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\left[ \begin{array}{l}
\sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}\\
\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} = \cos x
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} = \cos x\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x\cos 2x = 1\\
\Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2x = 2
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {{\cos }^2}x + \cos 2x - 2 = 0}\\
{\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi }
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm

\(x = k\frac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)\)

e) ĐKXĐ: cosx ≠ 0, sin2x ≠ 0 và sin4x ≠ 0.

Tuy nhiên chỉ cần sin4x ≠ 0 là đủ (vì sin4x = 2sin2xcos2x = 4sinxcosxcos2x). Với điều kiện đó ta có:

\(\begin{array}{l}
\tan x + \cot 2x = 2\cot 4x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 4x}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x\sin 2x + \cos x\cos 2x}}{{\cos x\sin 2x}} = \frac{{2\cos 4x}}{{2\sin 2x\cos 2x}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\cos \left( {2x - x} \right)}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\cos 2x}}\\
\Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow 4x = \pm 2x + k2\pi \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = k\frac{\pi }{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}
\end{array}\)

Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện sin4x ≠ 0.

Ta có:

- Nếu k chia hết cho 3, tức là k = 3m (m ∈ Z) thì:

- Nếu k không chia hết cho 3, tức là k = 3m±1 (m ∈ Z) thì:

\(\begin{array}{l}
\sin 4x = \sin \left( { \pm \frac{{4\pi }}{3} + 4m\pi } \right)\\
= \pm \sin \frac{\pi }{3} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \ne 0
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = k\frac{\pi }{3}\) với k nguyên và không chia hết cho 3.

-- Mod Toán 11