Bài tập 48 trang 48 SGK Toán 11 NC

Bài tập 48 trang 48 SGK Toán 11 NC

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\\
 = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{3}\\
 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}\\
 = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{4} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
2\sin x - 2\cos x = 1 - \sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\\
 \Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{4} - \sin \frac{\pi }{4}\cos x =  - \sin \frac{\pi }{{12}}\\
 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = \pi  + \frac{\pi }{{12}} + k2\pi 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

c) Chú ý rằng \(1 - \sqrt 3  < 0\), ta đặt điều kiện sinx–cosx < 0 rồi bình phương hai vế của phương trình thì được:

\(\begin{array}{l}
4\left( {1 - \sin 2x} \right) = 4 - 2\sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{3} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Thử vào điều kiện sinx–cosx < 0, ta thấy:

• Họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện sinx–cosx < 0 khi và chỉ khi k chẵn, tức là \(x = \frac{\pi }{6} + 2m\pi ,m \in Z\).
• Họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện sinx–cosx < 0 khi và chỉ khi k lẻ, tức là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \).

Ta có kết quả như đã nêu ở câu b. 

-- Mod Toán 11