Chương 3: Góc Với Đường Tròn

Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào những thời điểm sau:

a) 3 giờ

b) 5 giờ

c) 6 giờ

d) 12 giờ

e) 20 giờ

Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc 40⁰. Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O.

Trên các hình 5, 6, hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm số đo cung AmB. Từ đó tính số đo cung AmB tương ứng.

Xem hình bên. Tính số đo góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB

Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết \(\widehat{AMB}=35^0\)

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB

b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ)

Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC

b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C

Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q

a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung AM, CP, BN, DQ?

b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau

c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau

b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn

d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn

Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho góc AOB  = 100⁰, sđ cung AC = 45⁰. Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC.

(Xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm C nằm trên cung lớn AB).

a) Vẽ đường tròn tâm O bán kinh R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60⁰. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O').

a) So sánh các cung nhỏ BC, BD

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD ( tức điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: cung BE = cung BD)

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho \(AD = AC\). Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD \((H \epsilon BC,K\epsilon BD)\)

a) Chứng minh rằng \(OH > OK\)

b) So sánh hai cung nhỏ \(BD\) và \(BC\)

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung

Xem hình 19 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).

a) Biết \(\widehat{MAN}=30^0\), tính 

b) Nếu \(\widehat{PCQ}=136^o\) thì   có số đo là bao nhiêu?

Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20. Hãy so sánh các góc , , .

Cho một đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt  cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt O tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gi? Tại sao?

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: \(MA^2 = MB. MC\)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B.Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại C và D. Chứng minh \(MA.MB = MC.MD\)

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài \(AB = 40m\), chiều cao \(MK = 3m\). Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.

Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh \(SM = SC\) và \(SN = SA\)

Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh:

\(\widehat{APO}=\widehat{PBT}\)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (O) tại C đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D. Chứng minh rằng:

 \(\widehat{CBA}=\widehat{DBA}\)

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

Cho đường tròn (O; R) và dây cung \(BC = R\). Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại A. Tính các góc:

\(\widehat{ABC},\widehat{BAC}\)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T).Chứng minh:

\(\widehat{BTP}+ 2.\widehat{TPB}=90^o\)

Cho A, B, C là ba điểm của một đường tròn. At là tiếp  tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh \(AB. AM = AC . AN\)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cắt tuyến MAB. Chứng minh \(MT^2 = MA. MB\)

Trên bờ biển có ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10 m so với mực nước biển và kính Trái Đất gần bằng 6 400 km (h.30)?

Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh rằng tam giác AEH là tam giác cân.

Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC. Chứng minh

\(\widehat{ASC}=\widehat{MCA}\)

Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho số đo cung AC bằng số đo cung CD bằng số đo cung DB bằng 60 độ. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:

\(a) \widehat{AEB}=\widehat{BTC}\)

b) CD là phân giác của góc BCT

Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S.Chứng minh ES = EM

Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.

a) Chứng minh \(\small AP \perp QR\)

b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân

Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD), AD cắt BC tại I. Chứng minh \(\small \widehat{AOC }=\widehat{AIC}\)

Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Dựng một cung chứa góc \(\small 55^o\) trên đoạn thẳng \(\small AB = 3cm\)

Gọi cung chứa góc \(55^o\) ở bài tập 46 là \(\widehat{AmB}\). Lấy điểm \(M_1\) nằm bên trong và điểm \(M_2\) nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \(M_1,M_2\) và cung AmB nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

\(a) \widehat{AM_1B}>55^o\)

\(b) \widehat{AM_2B}<55^o\)

Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Dựng tam giác ABC, biết \(\small BC = 6cm\), \(\small \widehat{A}=40^o\) và đường cao \(\small AH = 4cm\)

Cho đường tròn đường kính AB cố định. M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho \(\small MI = 2MB\)

a) Chứng minh góc AIB không đổi

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với góc A bằng 60 độ. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'

Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

"Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 m.

Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bẳng sau (nếu có thể)

Tứ giác ABCD có \(\small \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^o\). Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết:

\(\small \widehat{DAB}=80^o,\widehat{DAM}=30^o,\widehat{BMC}=70^o\)

Hãy tính số đo các góc:

 \(\widehat{MAB},\widehat{BCM},\widehat{AMB},\widehat{DMC},\widehat{AMD},\widehat{MCD},\widehat{BCD}\)

Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD

Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn: Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?

Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và

 \(\small \widehat{DCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}\)

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.

Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD

Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O;r)

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.

b) Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R).

Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O;R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

Lấy giá trị gần đúng của \(\small \pi=3,14\). Hãy điền vào ô trống trong bảng sau (đơn vị độ dài:cm, làm tròn kết quả đến chữ thập phân thứ hai).

a) Tính độ dài cung 60^o của một đường tròn có bán kính 2 dm.

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm

Lấy giá trị gần đúng của π là 3,14, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất và đến độ):

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC.

Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính 1,672 m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?

Vẽ lại ba hình (tạo bởi các cung tròn) dưới đây và tính chu vi mỗi hình (có gạch chéo)

Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là B, C, D, A theo đúng kích thước đã cho (hình vuông ABCD dài 1cm). Nếu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài đường xoắn đó.

Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540mm. Dây cua-roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài 200mm. Tính góc AOB(h.56)

Đường tròn lớn của Trái Đất dài khoảng 40000km. Tính bán kính Trái Đất.

Vĩ độ của Hà Nội là 20^o01’. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40 000 km. Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.

Cho đường tròn (O), bán kính OM. Vẽ đường tròn tâm O', đường kính OM. Một bán kính OA của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') ở B. Chứng minh \({\widehat{MA}}\) và  \({\widehat{MB}}\) có cùng độ dài bằng nhau.

Xem hình 57 và so sánh độ dài của cung AmB với độ dài đường gấp khúc AOB.

Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông cạnh là 4cm.

Chân một đống cát trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi là 12 m. Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích bao nhiêu mét vuông?

Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 36^o

Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40m, AD = 30m

Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:

- Mỗi dây thừng dài 20m.

- Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài 10m.

Hỏi cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h.60)

Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a) Bán kính tăng gấp đôi?

b) Bám kinh tăng gấp ba?

c) Bán kính tăng k lần (k>1)?

Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):

a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách vẽ (h.63).

b) Tính diện tích miền gạch sọc

b) Tính diện tích miền gạch sọc.

a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với HI = 10cm và HO = 2cm. Nêu cách vẽ.

b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch sọc)

c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó.

Hình viên phân là hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm góc AOB bằng 60 độ và bán kính đường tròn là 5,1 cm (h.64)

Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65).

a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R₁ và R₂ (giả sử R₁ > R₂).

b) Tính diện tích hình vành khăn khi R₁ = 10,5 cm, R₂ = 7,8 cm.

Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy diện tích hình viên phân được tạo thành.

Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh:

\(\widehat{A}+\widehat{BSM}=2.\widehat{CMN}\)

Trên đường tròn bán kính R, lần lượt đặt cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho \(\small sd\widehat{AB}=60^o\), \(\small sd\widehat{BC}=90^o\) và \(\small sd\widehat{CD}=120^o\).

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi sao năm cánh đều nhau. Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiêu độ?

Mỗi câu sau đây đúng hay sai

(A) Góc nội tiếp là góc tạo bởi hai dây của đường tròn đó.

(B) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

(C) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp không cùng chắn một cung thì không bằng nhau.

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.