Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 10 NC

Δ₁ có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right)\).

Δ₂ có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\).

Giả sử Δ qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\); Δ cắt Δ₁, Δ₂ ở A và B sao cho tạo với một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi Δ với Δ₁ và góc hợp bởi Δ với Δ₂ bằng nhau.

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_2}.\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3a - b} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }}\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {a + 2b} \right| = \left| {3a - b} \right|\\
 \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a - b} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0
\end{array}\)

Chọn b = 1 ta có \({a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:

\(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0\)

\(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0\)

-- Mod Toán 10