Bài tập 3 trang 84 SGK Hình học 10

Bài tập 3 trang 84 SGK Hình học 10

Chúng ta có hai cách để giải bài 3 này, có thể viết phương trình tổng quát để tìm ra hệ số a, b, c hoặc tìm tâm đường tròn cần viết phương trình. Cụ thể như sau:

Câu a:

Gọi phương trình cần tìm đi qua 3 điểm A, B, C là:

\({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

Đường tròn đi qua điểm \(A(1; 2)\) nên:

\({1^2} + {2^2} - 2a - 4b + c = 0\)

\(\Leftrightarrow 2a + 4b - c = 5 (1)\)

Đường tròn đi qua điểm \(B(5; 2)\) nên:

\({5^2} + {2^2} - 2.5a - 2.2b + c = 0\)

\(\Leftrightarrow 10a + 4b - c = 29(2)\)

Đường tròn đi qua điểm \(C(1; -3)\) nên:

\(1 + {\left( { - 3} \right)^2} - 2a + 6b + c = 0\)

\(\Leftrightarrow 2a - 6b - c = 10(3)\)

Từ (1);(2) và (3) ta có hệ phương trình sau

\(\left\{ \begin{array}{l} {\rm{2a + 4b - c = 5}}\\ {\rm{10a + 4b - c = 29}}\\ {\rm{2a - 6b - c = 10}} \end{array} \right.\)

Ta giải hệ suy ra:

\(a=3;b=-\frac{1}{2};c=-1\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

\(x^2+y^2-6x+y-1=0\)

Câu b:

Với câu b, chúng ta sẽ không viết ra phương trình tổng quát nữa, ta sẽ dùng phương pháp tìm tâm của đường tròn, từ đó suy ra bán kính và viết được phương trình đường tròn

Gọi tâm đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là \(I(x;y)\)

Theo đề, ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {IM} = \left( { - 2 - x;4 - y} \right)\\ \overrightarrow {IN} = \left( {5 - x;5 - y} \right)\\ \overrightarrow {IP} = \left( {6 - x; - 2 - y} \right) \end{array}\)

\(I{M^2} = I{N^2} \Leftrightarrow {\left( { - 2 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {\left( {5 - y} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow 7{\rm{x}} + y = 15(1)\)

Tương tự ta có:

\(I{M^2} = I{P^2} \Leftrightarrow {\left( { - 2 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} = {\left( {6 - x} \right)^2} + {\left( { - 2 - y} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow 4{\rm{x}} - 3y = 5(2)\)

Từ (1) và (2) nên ta có hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} 7{\rm{x}} + y = 15\\ 4{\rm{x}} - 3y = 5 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I(2;1)\)

\(\Rightarrow R=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

\((x-2)^2+(y-1)^2=25\)

-- Mod Toán 10