Bài tập 25 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 25 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Vì M(2;1) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên đường tròn cần tìm (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.

(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I(a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ).

Do đó (C) có phương trình là: (x−a)²+(y−a)² = a²

Vì M(2;1) ∈ (C) nên: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - a} \right)^2} = {a^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1}\\
{a = 5}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

• Với a = 1 ta có (C): (x−1)²+(y−1)² = 1.
• Với a = 5 ta có (C): (x−5)²+(y−5)²=25.

b) Phương trình đường thẳng Ox: y = 0

Giả sử: I(a;b) là tâm của đường tròn cần tìm.

Ta có: R = d(I;Ox) = |b|

Phương trình đường tròn có dạng:

(C): (x−a)²+(y−b)² = b²

Vì (1;1) ∈ (C) và (1;4) ∈ (C) nên ta có hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {b^2}\left( 1 \right)\\
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {b^2}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Từ hệ trên ta suy ra: \({\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {4 - b} \right)^2} \Leftrightarrow b = \frac{5}{2}\).

Thay \(b = \frac{5}{2}\) vào (1) ta được: a = 3, a = −1

Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán:

\(\begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{3}} \right)^2} = \frac{{25}}{4};\\
{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}
\end{array}\)

-- Mod Toán 10