Chương 3: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:

a)  \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);

b) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);

c)  \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).

Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3;

b) \(4n + 15n - 1\) chia hết cho 9;

c) \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \geq 2\), ta có các bất đẳng thức:

a) \(3^n > 3^n + 1\)                  

b) \(2^{n + 1} > 2n + 3\)

Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε  N^{*  .}

a) Tính \(S_1, S_2, S_3\)_.

b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là  \(\frac{n(n-3)}{2}\)

Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

a)  _{\(u_n =\frac{n}{2^{n}-1}\);}

 b)  _{\(u_n =\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)}

c)  _{\(u_n =(1+\frac{1}{n})^{n}\);}

d)  _{\(u_n =\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)}

Cho dãy số \(U_n\) , biết:

           \(u_1 = -1; u_n+1 = u_n +3\) với \(n \geq 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4.\)

Dãy số u_n cho bởi: \(u_1 = 3; u_n+1 = \sqrt{1+u^{2}_{n}}, n\geq 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

Xét tính tăng, giảm của các dãy số u_n biết:  

a) \(u_n=\frac{1}{n}-2\);

b)  \(u_n =\frac{n-1}{n+1}\);

c) \(u_n = (-1)^n(2^n + 1)\)

d)  \(u_n =\frac{2n+1}{5n+2}\).

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) \(u_n = 2n^2 -1\)                     

b)  \(u_n =\frac{1}{n(n+2)}\)

c)  \(u_n =\frac{1}{2n^{2}-1}\)                  

d) \(u_n = sinn + cosn\)

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:

a) \(u_n = 5 - 2n\);

b) \(u_n =\frac{n}{2}-1\);

c) \(u_n = 3^n\);

d) \(u_n =\frac{7-3n}{2}\)

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

a) \(\left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\).

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n.\)

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm.

a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Chứng minh các dãy số \((\frac{3}{5}. 2^n)\) , \((\frac{5}{2^{n}})\), \(((-\frac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.

Cho cấp số nhân với công bội q.

a) Biết \(u_1 = 2, u_6 = 486\). Tìm q

b) Biết  \(q =\frac{2}{3}\),  \(u_4 =\frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)

c) Biết \(u_1 = 3, q = -2\). Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Tìm cấp số nhân có sau số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông C₂. Từ hình vuông C₂ lại tiếp như trên để được hình vuông C₃. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, ...,C_n.\) Gọi  an là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân. 

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Cho cấp số nhân có u₁ < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a) q > 0

b) q < 0

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Cho hai cấp số nhân có cùng có các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

a) 13ⁿ -1 chia hết cho 6

b) 3n³ + 15n chia hết cho 9

Cho dãy số (u_n), biết u₁ = 2, u_n+1= 2u_n – 1 (với n ≥ 1)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh: u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n), biết:

a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)

b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)

c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của các cấp số cộng (u_n) biết:

a) \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10u_n=0\\ s_4=14 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_7+u_{15}=60\\ u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170 \end{matrix}\right.\)

Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân (u_n) biết: 

a) \(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_1-u_2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\)

Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12 288m². Tính diện tích mặt trên cùng.

Chứng minh rằng nếu các số a², b², c² lập thành một cấp số cộng (abc ≠ 0) thì các số \(\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng.

Cho dãy số (u_n), biết u_n = 3ⁿ. Hãy chọn phương án đúng:

a) Số hạng u_n+1 bằng:

A. 3ⁿ+1                   B. 3ⁿ + 3                   C. 3ⁿ.3                        D. 3(n+1)

b) Số hạng u_2n bằng:

A. 2.3ⁿ                    B. 9ⁿ                      C. 3ⁿ + 3                        D. 6n

c) Số hạng u_n-1 bằng :

A. 3ⁿ -1                 B. \(\frac{1}{3}.3^n\)                        C. 3ⁿ – 3                  D. 3n – 1

d) Số hạng u_2n-1 bằng:

A. 3².3ⁿ -1            B. 3ⁿ.3^n-1                       C. 3²ⁿ – 1                  D. 3^{2n – 1}

Hãy cho biết dãy số (u_n) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát u_n của nó là:

(A) \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\)

(B) \((-1)^{2n}.(5^n+1)\)

(C) \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\)

(D) \(\frac{n}{n^2+1}\)

Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. x = -6, y = -2                                                    B. x = 1, y = 7

C. x = 2, y = 8                                                       D. x = 2, y = 10

Cho cấp số nhân -4, x, -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. x = 36          B. x = -6,5            C. x = 6           D. x -36

Cho cấp số cộng (u_n). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A. \(\frac{u_{10}+u_{20}}{2}=u_5+u_{10}\)

B. \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\)

C. \(u_{10}.u_{30}=u_{20}\)

D. \(\frac{u_{10}.u_{30}}{2}=u_{20}\)

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_{n+1}=u^2_n \end{matrix}\right.\)

(B) \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)

(C) \(\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+1 \end{matrix}\right.\)

(D) \(7,77,777,...,\underbrace{77...7}_{n \ chu \ so \ 7}\)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :

\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)   (1)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Với mỗi số nguyên dương n, đặt u_n  = 7.2²ⁿ⁻²+3²ⁿ⁻¹   (1) .

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u_n chia hết cho 5.

Cho số thực x > −1. Chứng minh rằng:

(1+x)ⁿ ≥ 1+nx   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Một học sinh chứng minh mệnh đề "Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu 8^k+1 chia hết cho 7 thì 8^k+1+1 cũng chia hết cho 7" như sau:

Ta có: 8^k+1+1 = 8(8^k+1)−7. Từ đây và giả thiết "8^k+1 chia hết cho 7", hiển nhiên suy ra 8^k+1+1 chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được "8ⁿ+1 chia hết cho 7 với mọi n ∈ N^∗" hay không ? Vì sao ?

Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 3}}{n}\)

b. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{4} + \cos \frac{{2n\pi }}{3}\)

c. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 0 và \({u_n} = \frac{2}{{u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 2;

b. Dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 1, u₂ = −2 và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi n ≥ 3.

Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n,… theo cách sau: Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm An, Bn, Cn, và Dn tương ứng trên các cạnh A_n-1B_n-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1 và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

u₁ = 1 và u_n = 2u_n−1+3 với mọi n ≥ 2.

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có u_n = 2ⁿ⁺¹−3   (1)

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với u_n = n³−3n²+5n−7;

b. Dãy số (x_n) với \({x_n} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với \({a_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)

Chứng minh rằng dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+5 với mọi n ≥ 1.

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng u_n = 5n–2 với mọi n ≥ 1.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và u_n+1 = u_n+(n+1).2ⁿ với mọi n ≥ 1

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng u_n = 1+(n−1).2ⁿ với mọi n ≥ 1.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{u_n^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Cho dãy số (s_n) với

\({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6}\).

a. Chứng minh rằng s_n = s_n+3 với mọi n ≥ 1

b. Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:

a. Dãy số (u_n) với u_n = 19n–5;

b. Dãy số (u_n) với u_n = an+b, trong đó a và b là các hằng số.

Trên tia Ox lấy ác điểm A₁, A₂, …, A_n,… sao cho mỗi số nguyên dương n, OA_n = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OA_n, n=  1,2,… Kí hiệu là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA₁ và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu u_n là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA_{n -1} , nửa đường tròn đường kính OA_n và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :

a. Mỗi cấp số cộng với công sai d>0d>0 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm.

b. Mỗi cấp số cộng với công sai d<0d<0 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm.

Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.

Cho cấp số cộng (u_n) có u₂₀ = − 52 và u₅₁ = − 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Cho cấp số cộng (u_n) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng u_m = u_k+(m−k)d.

Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (u_n) mà u₁₈ − u₃ = 75.

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁−u₃ = 6 và u₅ = −10. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Hãy chứng minh định lí 3.

Cho cấp số cộng (u_n) có u₂+u₂₂ = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

a. Dãy số 1, −2, 4, −8, 16, −32, 64

b. Dãy số (u_n) với u_n = n.6ⁿ⁺¹

c. Dãy số (v_n) với v_n = (−1)ⁿ.3²ⁿ

d. Dãy số (x_n) với x_n = (−4)²ⁿ⁺¹.

Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :

a. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội 0

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

b. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội q>1q>1 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q < 0. Biết u₂ = 4 và u₄ = 9, hãy tìm u₁.

Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \(\frac{1}{{16}}\). Hãy tìm cấp số nhân đó.

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 0 và u₁ ≠ 0. Cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng u_m = u_k.q^m−k

Áp dụng: 

a. Tìm công bội q của cấp số nhân (u_n) có u₄ = 2 và u₇ = − 686.

b. Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u_n) mà u₂ = 5 và u₂₂ = −2000 ?

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) , biết rằng u₃ = −5 và u₆ = 135.

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Tính các tổng sau :

a. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366;

b. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 12561256 , số hạng thứ hai bằng −1512−1512 và số hạng cuối bằng  1104857611048576

Bốn góc lượng giác có số đo dương lâp thành một cấp số nhân có tổng là 360⁰. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

a. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

b. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

c. \(1 + \pi  + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = \frac{{{\pi ^{100}} - 1}}{{\pi  - 1}}\)

Các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x–1, y+2, x–3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

Cho cấp số cộng (u_n) với công sai khác 0. Biết rằng các số u₁u₂, u₂u₃ và u₃u₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.

Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \(\frac{{148}}{9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và un + 1 = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1.

a. Chứng minh rằng dãy số (v_n), với v_n = u_n + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b. Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Chứng minh rằng:

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}{{12}}\)    (1)

Với mọi số nguyên n ≥ 2.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 2 và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng:

\({u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Cho các dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) và \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) và \({v_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}\)

a. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n) với a_n = u_n + v_n

b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (b_n) với b_n = u_n – v_n

c. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (c_n) với c_n = u_n.v_n

d. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (d_n) với \({d_n} = \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

Chú ý

Các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (u_n + v_n), (u_n – v_n), (u_n.vn), \(\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\).

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a. Dãy số (u_n) với u_n = 8n + 3

b. Dãy số (u_n) với u_n = n²+n+1

c.  Dãy số (u_n) với u_n = 3.8ⁿ

d. Dãy số (u_n) với u_n = (n+2).3ⁿ

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+5 với mọi n ≥ 1

là một cấp số cộng.

b. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+n với mọi n ≥ 1,

là một cấp số cộng.

c. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 4 và u_n+1 = 5u_n với mọi n ≥ 1,

là một cấp số nhân.

d. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và u_n+1 = nu_n với mọi n ≥ 1

là một cấp số nhân.

Cho dãy hình vuông H₁, H₂, …, H_n,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n, p_n và S_n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông Hn.

a. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

b. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 3 và \({u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở Cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở Cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un và vn tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.

a. Hãy tính u₂, u₃, v₂, v₃.

b. Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng và dãy số (v_n) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?

d. Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai :

a. Tồn tại một cấp số nhân (u_n) có u₅ < 0 và u₇₅ > 0

b. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 thì các số \{a^2},{b^2},{c^2}\)${\mathrm{}}^{}$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

c. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \{a^2},{b^2},{c^2}\)${\mathrm{}}^{}$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi : \({u_1} = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = \frac{1}{2}\)$\text{ và ({u\_n} = {u\_{n - 1}} + 2n)}$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₅₀ bằng :

A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = −1 và \[{u_1} =  - 1\)$\text{ và ({u\_n} = 2n.{u\_{n - 1}})}$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₁₁ bằng :

A. 2¹⁰.11!

B. -2¹⁰.11!

C. 2¹⁰.11¹⁰

D. - 2¹⁰.11¹⁰

Cho dãy số (u_n) xác định bởi : u₁ = 150 và \({u_1} = 150\)$\text{ và ({u\_n} = {u\_{n - 1}} - 3)}$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó bằng

A. 150

B. 300

C. 29850

D. 59700

Cho cấp số cộng (u_n) có : u₂ = 2001 và u₅ = 1995.

Khi đó u₁₀₀₁ bằng

A. 4005

B. 4003

C. 3

D. 1

Cho cấp số nhân (un) có u₂ = -2 và u₅ = 54.

Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

A. \(\frac{{1 - {3^{1000}}}}{4}\)

B. \(\frac{{{3^{1000}} - 1}}{2}\)

C. \(\frac{{{3^{1000}} - 1}}{6}\)

D. \(\frac{{1 - {3^{1000}}}}{6}\)