Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \geq 2\), ta có các bất đẳng thức:
a) \(3^n > 3^n + 1\)
b) \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
Câu a:
Khi n = 2 bất đẳng thức đã cho đúng.
Giả sử bất đẳng thứ luôn đúng đên \(n=k\geq 2\), tức là \(3^k> 3k+1 (1).\)
Ta phải chứng minh đẳng thức luôn đúng đến n=k+1, tức là: \(3^{k+1}>3k+4 (2).\)
Thật vậy, ta có:
\(3^{k+1}=3.3^k>3(3k+1)=9k+3=(3k+4)+(6k-1)>3k+4\) (do (1))
⇒ (2) đúng ⇒ (đpcm)
Câu b:
Khi n = 2 bất đẳng thức đã cho luôn đúng.
giả sử bất đẳng thức luôn đúng đến \(n=k\geq 2\), tức là \(2^{k+1}> 2k+3\) (1)
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1, tức là:
\(2^{k+2}>2k+5 \ (2)\)
Thật vậy, ta có:
\(2^{k+2}=2.2^{k+1}>2(2k+3)=4k+6=(2k+5)+(2k+1)>2k+5\) (do (1))
Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm).
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247