Bài tập 18 trang 109 SGK Toán 11 NC

Lý thuyết Bài tập
Câu hỏi:

Bài tập 18 trang 109 SGK Toán 11 NC

Cho dãy số (sn) với

\({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6}\).

a. Chứng minh rằng sn = sn+3 với mọi n ≥ 1

b. Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

a) Với n > 1 tùy ý, ta có:

\(\begin{array}{l}
{{\mathop{\rm s}\nolimits} _{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{6}\\
 = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]\frac{\pi }{6}\\
 = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\\
 = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} = {s_n}
\end{array}\)

b) Từ kết quả phần a) ta có:

s1 = s4 = s7 = s10 = s13,

s2 = s5 = s8 = s11 = s14,

s3 = s6 = s9 = s12 = s15.

Từ đó suy ra:

s+ s2 + s3 = s4 + s5 + s6 = s7 + s8 + s= s10 + s11 + s12 = s13 + s14 + s15

Do đó:  S15 = s1 + s2 +...+ s15 = 5(s1 + s2 + s3)

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  

s1 = 1, s2 = \( - \frac{1}{2}\) và 

s3 = \( - \frac{1}{2}\) 

⇒ S15 = 0.

 

-- Mod Toán 11

Copyright © 2021 HOCTAP247