Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n

Khi n = 1 ta có \(A_1=9\vdots 3\)

Giả sử n = k ≥ 1, ta có A_k = (k³ + 3k² + 5k)  3 (1) (giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là: A_k+1  3 (2)

Thật vậy, ta có: A_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

                         = (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

 hay A_k+1 = A_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp (1) và mặt khác 3(k² + 3k + 3)  3 Ta có: A_k+1  3.

Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm).

Câu b:

Đặt B_n = 4ⁿ + 15n - 1 

Giả sử n = 1, ta có B₁   9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì B_k= (4^k + 15k - 1)   9. (1)

Ta phải chứng minh B_k+1  9.

Thật vậy, ta có: B_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

                                    = 4.4^k + 15k – 14 (3)

Từ (1) ta có \(4^k+15k-1=9 (k\in \mathbb{N}^*)\Leftrightarrow 4^k=9-15k+1\)

Thế vào (3) ta có: 

B_k+1 = 4(9l -15k +1) +15k +14 = (36l - 45k +18)  9

Vậy (2) đúng, ta có C₁ = 12   6.

Câu c:

Đặt C_n = n³ + 11n

Khi n = 1, ta có C₁ = 12  6

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có C_k = (k³ + 11k)  6  (1)

Ta phải chứng minh C_k+1  6  (2)

Thật vậy, ta có C_k+1 = (k + 1)³ + 11(k + 1)           

                    = ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4)

= [Ck +3k(k+1) +12]  6 (do k(k+1)   2)

Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm)

-- Mod Toán 11