Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 2 và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với mọi n ≥ 2
Chứng minh rằng:
\({u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
+ Với n = 1, theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = \frac{{{2^{1 - 1}} + 1}}{{{2^{1 - 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N∗ tức là:
\({u_k} = \frac{{{2^{k- 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\)
+ Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1
Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có:
\({u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)
Nghĩa là (1) đúng với n = k+1.
Vậy (1) đúng với mọi n ∈ N∗.
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247