Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:
a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)
b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Câu a:
Ta có \(u_{n+1}-u_n=\left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right )-\left ( n+\frac{1}{n} \right )= 1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\)
\(=\frac{n^2+n+n-n-1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}> 0 \ \ \forall n\in \mathbb{N}^*\)
\(\Rightarrow (u_n)\) là dãy tăng.
Ta có \(u_n=n+\frac{1}{n}>0\Rightarrow (u_n)\) bị chặn dưới, nhưng (un) không bị chặn trên \(\Rightarrow (u_n)\) không bị chặn.
Câu b:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\left( { - 1} \right)^0}\sin 1 = \sin 1 > 0\\
{u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin \frac{1}{2} = - \sin \frac{1}{2} < 0\\
{u_3} = {\left( { - 1} \right)^2}.\sin \frac{1}{3} = - \sin \frac{1}{3} > 0
\end{array}\)
⇒ u1 > u2 và u2 < u3
Dãy \((u_n)\) không tăng và không giảm.
Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}sin\frac{1}{n}} \right| = \left| {sin\frac{1}{n}} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1,u \in {^*}\)
\(\Rightarrow (u_n)\) bị chặn và không đơn điệu
Câu c:
Ta có
\(u_{n+1}-u_n =(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} \ (1)\)
Ta chứng minh \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} < 0 \ (2)\)
Thật vậy ta có \((2)\Leftrightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sqrt {n(n + 2)} < 2n + 2\\
\Leftrightarrow \sqrt {n(n + 2)} < n + 1\\
\Leftrightarrow {n^2} + 2n < {n^2} + 2n + 1\\
\Leftrightarrow 0 < 1(LD)
\end{array}\)
⇒ (2) đúng.
Từ (1), (2) \(\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0\)
\(\Rightarrow (u_n)\) dãy số giảm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\\
= \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
⇒ un là dãy số bị chặn dưới.
Lại có: với \(n \ge 1\) thì \(\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1\)
\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\)
Suy ra un là dãy số bị chặn trên
Vậy un là dãy số giảm và bị chặn
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247