Bài tập 3 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

\(u_1=3; u_2=\sqrt{1+3^2}=\sqrt{10}; u_2=\sqrt{1+10}=\sqrt{11};\)

\(u_4=\sqrt{1+11}=\sqrt{12}; u_5= \sqrt{1+12}= \sqrt{13}.\)

Câu b:

Ta có:  \(u_1 = 3 = \sqrt 9 = \sqrt{(1 + 8)}\)

                 \(u_2 = \sqrt 10 = \sqrt{(2 + 8)}\)

                 \(u_3 = \sqrt 11 = \sqrt{(3 + 8)}\)

               \(u_4 = \sqrt 12 = \sqrt{(4 + 8)}\)

                   ...........

Từ trên ta dự đoán \(u_n = \sqrt{(n + 8)}\), với n ε  N^*    (1)

Ta chứng minh bằng quy nạp \(U_n=\sqrt{n+8} \ (1)\)

Theo a) ta thấy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với \(n=k\geq 1\), tức là: \(u_k=\sqrt{k+8} \ (2)\)

Ta chứng minh (1) đúng đến n=k+1 tức là \(u_{k+1}=\sqrt{k+9} \ (3)\)

Thật vậy từ (2) và giả thiết ta có:

\(u_{k+1}=\sqrt{1+U^2_k}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^2}=\sqrt{k+9}\)

⇒ (3) đúng ⇒ (1) đúng \(\forall n\in \mathbb{N}^*.\)

-- Mod Toán 11