Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

Ta có: \(S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)

\(S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}\)

\(S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}\)

Câu b:

Từ câu a) ta dự đoán \(S_n=\frac{n}{n+1} (1)\), với mọi n ε  N^{* .}

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Theo a) ta thấy (1) đúng khi n = 1, n=2,n=3.

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

                  \(S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\) (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng đến khi n = k + 1, tức là

                   \(S_k+1=\frac{k+1}{k+2}\) (3)

Thật vậy ta có:

\(S_{k+1}=\left [ \frac{1}{1.2}+ \frac{1}{2.3}+...+ \frac{1}{k.(k+1)} \right ]+ \frac{1}{(k+1)(k+2)}\)

\(=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}\)

\(=\frac{k+1}{k+2}\)

⇒ (3) đúng ⇒ (đpcm)

-- Mod Toán 11