Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Câu a:

Khi n=1 ta thấy đẳng thức đã cho đúng. Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq 1,\) nghĩa là: \(2+5+8+...+3k-1=\frac{k(3k+1)}{2} (1)\) giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với \(n=k+1\), tức là \(2+5+8+....+3k-1+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2} \ \ (2)\)

Thật vậy từ (1) ta có:

\((2+5+8+....+3k-1)+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}+3k+2\)

\(=\frac{k(3k+1)+2(3k+1)}{2}=\frac{3k^2+7k+4}{2}=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}\)

Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm)

Câu b:

Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq 1,\) tức là: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}=\frac{2^k-1}{2^k} \ (1)\)

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k + 1, tức là \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}} \ (2)\)

Thật vậy từ (1) ta có: \(\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k} \right )+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}\)

\(=\frac{2(2^k-1)+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)

Câu c:

Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.

Giả sử đẳng thức với \(n=k\geq 1\), tức là: 

  \(1^2+2^2+3^2+...+k^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k +1, tức là:\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +(k+1)^2\)

\(=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\)

\(=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)

Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm).

-- Mod Toán 11