Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Vậy (1) đúng với n = 2
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\)
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}\)
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right)\\
.\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{{k^2} + 2k}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{k\left( {k + 2} \right)}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}
\end{array}
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ≥ 2.
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247