Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)
Vậy (1) đúng với n = 1
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3}\)
\(\begin{array}{l}
{2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}
\end{array}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\begin{array}{l}
{2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
= \frac{{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{3}\\
= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]}}{3}\\
= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n∈N∗
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247