Bài tập 5 trang 91 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 91 SGK Hình học 11 NC
Trong không gian cho tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với mọi điểm O.
b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \), trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
a) Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi \(\overrightarrow {AM} = l\overrightarrow {AB} + m\overrightarrow {AC} \)
hay \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} \)
\(= l\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O
Tức là: \(\overrightarrow {OM} = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA} + l\overrightarrow {OB} + m\overrightarrow {OC} \)
Đặt 1 − l − m = x, l = y, m = z thì
\(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với x + y + z = 1
b) Giả sử \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với x+ y + z = 1, ta có:
\({\overrightarrow {OM} = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} }\)
Hay \({\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} }\)
Suy ra \({\overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} }\)
Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mp(ABC).
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247