Bài tập 2 trang 125 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 125 SGK Hình học 11
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’
b) Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
c) Tìm ảnh của O qua phép vị tự F.
d) Gọi A”, B”, C” lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH; A1, B1, C1 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A1’, B1’, C1’ tương ứng là chân các đường cao đi qua A, B, C. Tìm ảnh của A, B, C, A1, B1, C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số \(\frac{1}{2}\)
e) Chứng minh chín điểm A’, B’, C’, A”, B”, C”, A1’, B1’, C1’ cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác ABC)
Câu a:
Dễ thấy \(\overrightarrow{GA'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}, \overrightarrow{GB'} =-\frac{1}{2}\overline{GB}, \overrightarrow{GC'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GC}\)
Suy ra: f là phép vị tự tâm G tỉ số \(k=-\frac{1}{2}\) biến A,B,C tương ứng thành A',B',C'.
Câu b:
Nhận thấy \(OA'\perp BC, B'C' // BC\Rightarrow A'O\perp B'C'\)
Tương tự \(B'O\perp A'C', C'O\perp A'B'\)
O là trực tâm của tam giác A'B'C' mà H là trực tâm của tam giác ABC.
\(\Rightarrow GO=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}\Rightarrow\) G, O, H thành hàng.
Câu c:
Ta có: \(f(O)=O_1\Leftrightarrow \overrightarrow{GO'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GO}\)
⇒ O nằm trên OH và O là trung điểm của OH.
Câu d:
Nhận thấy: ảnh của A,B,C,A1,B1,C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số \(\frac{1}{2}\) lần lượt là: A”, B”, C”, A1’, B1’, C1’
Câu e:
Chứng minh A”, B”, C”, A1’, B1’, C1’ cũng thuộc đường tròn (O1). Sau đó chứng minh A', B', C' cùng thuộc đường tròn tâm (O1). Chẳng hạn chứng minh \(O_1A_1'=O_1A'\).
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247