Bài tập 4 trang 98 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 98 SGK Hình học 11
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và A'B'C' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, B'C, C'A, Chứng minh rắng:
a) AB ⊥ CC';
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Câu a:
Ta có:\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(=\left |\overrightarrow{AB} \right |.\left |\overrightarrow{AC'} \right | . cos \left ( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC'} \right )- \left |\overrightarrow{AB} \right |.\left |\overrightarrow{AC} \right |. cos \left ( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right )\)
\(=AB.AC'.cos60^0-AB.AC.cos60^0\)
Vì các tam giác ABC và ABC' là tam giác đều nên AB = AC = AC'
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'}=0 \Rightarrow AB\perp CC'\)
Câu b:
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ MN // AB và \(MN=\frac{1}{2}AB\)
Tương tự PQ // AB và \(PQ=\frac{1}{2}AB\)
⇒ MN // PQ và MN = PQ ⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành. Mặt khác PN cũng là đường trung bình của tam giác BCC' ⇒ PN // CC'.
Theo chứng minh câu a) \(AB\perp CC'\Rightarrow MN\perp NP\)
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (đpcm).
-- Mod Toán 11
Video hướng dẫn giải bài 4 SGK
Copyright © 2021 HOCTAP247