Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC

a) Ta có: AM, AN cùng vuông góc với SA mà \(\widehat {MAN} \le {90^0}\) nên \(\widehat {MAN}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN). Hai mặt phẳng đó tạo với nhau góc 45˚ khi và chỉ khi \(\widehat {MAN} = {45^0}\)

Mặt khác, \(M \in BC,N \in CD,\widehat {BAD} = {90^ \circ }\) n

nên điều đó xảy ra khi \(\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = {45^0}\)

Từ đó ta có:

\(1 = \frac{{\tan \widehat {BAM} + \tan \widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM}.\tan \widehat {DAN}}}\left( * \right)\)

(\(\tan \left( {x + y} \right) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x\tan y}}\))

Vì \(tan\widehat {BAM} = \frac{{a - x}}{a},tan\widehat {DAN} = \frac{{a - y}}{a}\) 

Nên (∗) \( \Leftrightarrow 2{a^2} + xy = 2a(x + y)\)

\( \Leftrightarrow 2a^2+xy = 2a(x+y)\)

Đó là hệ thức liên hệ giữa x và y để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45⁰

B) Ta có: (SAM) ⊥ (ABCD), từ đó nếu (SMN) ⊥ (SAM) thì giao tuyến MN của (SMN) và (ABCD) sẽ vuông góc với (SAM), tức MN ⊥ AM.

Ngược lại, nếu có MN ⊥ AM thì do SA ⊥ MN nên MN ⊥ (SAM), suy ra (SMN) ⊥ (SAM).

Vậy (SAM) ⊥ (SMN) khi và chỉ khi \(\widehat {AMN} = {90^0}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {(a - x)^2} + {x^2} + {y^2} = {a^2} + {(a - y)^2}\)

\( \Leftrightarrow ay = x(a - x)0\) với \(0 \le x \le a,0 \le y \le a\)

-- Mod Toán 11