Bài tập 6 trang 122 SGK Hình học 11

Bài tập 6 trang 122 SGK Hình học 11

Câu a:

Vì BCC'B' là hình vuông nên \(BC'\perp CB' \ (1)\). 

\(DC\perp (BCC'B')\Rightarrow DC\perp BC' \ (2)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(BC'\perp (A'B'CD)\) (đpcm).

Câu b:

Mặt phẳng (AB'D') chứa AB' và song song với BC'. Cần tìm hình chiếu của BC' trên mặt phẳng này.

Gọi E, F lần lượt là tâm các hình vuông ADD'A' và BCC'B'.

Trong mặt phẳng (A'B'CD) kẻ \(FH \bot EB'(H \in EB')\). 

Theo câu a suy ra \(FH \bot BC'\) hay \(FH \bot AD'.\)

Suy ra \(FH \bot (AB'D').\)

Do đó hình chiếu vuông góc của BC' trên mặt phẳng (AB'D') là đường thẳng đi qua H và song song với BC'.

Đường thẳng đó cắt AB' tại K.

Từ K vẽ KI song song với HF cắt BC' tại I.

Ta có IK là đường vuông góc chung của AB' và BC'.

Xét tam giác vuông EFB' ta có:

\(\frac{1}{{F{H^2}}} = \frac{1}{{F{E^2}}} + \frac{1}{{FB{'^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}.\)

Suy ra: \(KI = FH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

-- Mod Toán 11