Bài tập 32 trang 117 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 32 trang 117 SGK Hình học 11 NC

a) Xét tứ diện DACD’ có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD’) được tính bởi hệ thức:

\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{D^{\prime 2}}}}\)

Ta có: DC = a. DD’ = a

\(AC{\prime ^2} = A{C^2} + CC{\prime ^2} = D{A^2} + D{C^2} + CC{\prime ^2}\)

Hay \(4{a^2} = D{A^2} + {a^2} + {a^2}\),

Tức là: \(D{A^2} = 2{a^2}\)

Vậy 

\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{2{a^2}}}\)

Do đó: \(DH = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\)

b)

Vì CD = DD’ = a nên CD’ ⊥ C’D.

Mặt khác AD ⊥ (CDD’C’) nên CD’ ⊥ AC’ và CD’ ⊥ mp(AC’D).

Gọi giao điểm của CD’ với mp(AC’D) là I.

Trong mp(AC’D) kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC’ và CD’.

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Ta có: ΔC’JI đồng dạng ΔC’DA

Nên \(\frac{{IJ}}{{AD}} = \frac{{IC\prime }}{{AC\prime }}\)

Suy ra: \(IJ = AD.\frac{{C\prime D}}{{2AC\prime }}\)

Mặt khác: \(C'D = a\sqrt 2 \) nên 

\(IJ = a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{{2.2a}} = \frac{a}{2}\)

-- Mod Toán 11