Bài tập 7 trang 122 SGK Hình học 11

Bài tập 7 trang 122 SGK Hình học 11

Câu a:

Vì hình thoi ABCD có góc \(BAD=60^0\)

\(\Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều.

Gọi H là tâm của \(\Delta ABD\)

Theo giả thiết \(SA=SB=SD\)

\(\Rightarrow SH\perp (ABD)\)

\(\Rightarrow SH=d(S,(ABCD))\)

Trong tam giác đều ABD cạnh a có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Trong tam giác vuông SHA có: \(SH^2=SA^2-AH^2\)

\(\Rightarrow SH^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{9}= \frac{5a^2}{12} \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{6}\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD \(\Rightarrow OC=OA=\frac{3}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Và \(OH=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow HC=HO+OC\)

\(=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Trong tam giác vuông HSC có:

\(SC^2=SH^2+HC^2=\frac{15a^2}{36}+\frac{12a^2}{9}=\frac{7a^2}{4}\)

Vậy \(SC=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)

Câu b:

Theo chứng minh ở câu a) \(SH\perp (ABCD)\) mà \(SH\subset (SAC)\)

Vậy \((SAC)\perp (ABCD)\) (đpcm)

Câu c:

Trong tam giác SBC có: \(SB^2=\frac{3a^2}{4}; BC^2=a^2; SC^2=\frac{7a^2}{4}\)

\(\Rightarrow SC^2=SB^2+BC^2\Rightarrow\) tam giác SBC vuông tại B hay \(SB\perp BC\) (đpcm)

Câu d:

Vì ABCD là hình thoi \(\Rightarrow AC\perp BD \ (1)\)

Mặt khác \(\Delta SBD\) cân đỉnh S có O là trung điểm \(BD \Rightarrow SO \perp BD \ (2)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BD \perp (SAO)\)

BD là giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD)

Suy ra \(\varphi =SOA=SOH\)

Trong tam giác vuông SOH ta có: \(tan\varphi =\frac{SH}{OH}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}= \sqrt{5}\).

-- Mod Toán 11