Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11 NC

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là hình chiếu của O trên mp(ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC.

Từ đó HC₁ ⊥ AB (C₁ là giao điểm của CH và AB), suy ra OC1 ⊥ AB.

Như vậy \(\widehat {O{C_1}H}\) là góc giữa mp(OAB) và mp(ABC).

Ta có: \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}cos\widehat {O{C_1}H}\)

Mà \(\widehat {O{C_1}H} = \widehat {HOC}\) 

Nên \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}cos\widehat {HOC}\)

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}
\cos \widehat {HOC} = \frac{{OH}}{{OC}},\\
\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}
\end{array}\)

Từ đó: 

\(cos\widehat {HOC} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

Mặt khác \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}ab\)

Vậy \({S_{HAB}} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

Tương tự như trên, ta có

\({S_{HBC}} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

\({S_{HAC}} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{2\sqrt {{c^2}{a^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

-- Mod Toán 11