Bài tập 14 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 14 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I, G, H.
a) Ta có:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {6;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)\).
Suy ra:
\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \\
AC = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \\
BC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {36} = 6
\end{array}\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A.
Chu vi tam giác ABC là:
\(3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 + 6 = 6\sqrt 5 + 6\).
Gọi M là trung điểm của BC thì AM là đường cao của tam giác ABC.
Ta có M(2;1), \(\overrightarrow {AM} = \left( {6;0} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{6^2} + 0} = 6\).
Diện tích tam giác ABC là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AM = \frac{1}{2}.6.6 = 18\)
b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4 + 2 + 2} \right) = 0\\
{y_G} = \frac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 4 - 2} \right) = 1
\end{array} \right.\)
Vậy G(0;1).
Gọi H(xH,yH) là trực tâm tam giác ABC. Ta có
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\
{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{x_H} + 4} \right).0 + \left( {{y_H} - 1} \right).\left( { - 6} \right) = 0}\\
{\left( {{x_H} - 2} \right).6 + \left( {{y_H} - 4} \right).\left( { - 3} \right) = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_H} = \frac{1}{2}}\\
{{y_H} = 1}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Vậy \(H\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Gọi I(xI,yI) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A{I^2} = B{I^2}}\\
{A{I^2} = C{I^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {{x_I} + 4} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - 1} \right)}^2} = {{\left( {{x_I} - 2} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - 4} \right)}^2}}\\
{{{\left( {{x_I} + 4} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - 1} \right)}^2} = {{\left( {{x_I} - 2} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} + 2} \right)}^2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4{x_I} + 2{y_I} = 1}\\
{4{x_I} - 2{y_I} = - 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = - \frac{1}{4}}\\
{{y_I} = 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)
Vậy \(I\left( { - \frac{1}{4};1} \right)\).
Khi đó, ta có :
\(\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{1}{4};0} \right),\overrightarrow {IH} = \left( {\frac{3}{4};0} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IH} \).
Suy ra I, G, H thẳng hàng.
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247