Bài tập 2 trang 69 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 2 trang 69 SGK Hình học 10 NC
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta luôn có
MA2+MB2+MC2 = 3MG2+GA2+GB2+GC2.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2+MB2+MC2 = k2, trong đó k là một số cho trước.
a) Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {{\overrightarrow {MA} }^2} + {{\overrightarrow {MB} }^2} + {{\overrightarrow {MC} }^2}}\\
{ = {{\left( {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} } \right)}^2}}\\
\begin{array}{l}
= {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {MG} ^2}\\
- 2\overrightarrow {GM} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)
\end{array}\\
{ = 3G{M^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}}
\end{array}\)
b) Áp dụng câu a), ta có:
MA2+MB2+MC2 = k2 ⇔ 3MG2 = k2− (GA2+GB2+GC2)
+) Nếu k2 > GA2+GB2+GC2 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính \(\sqrt {\frac{1}{3}\left[ {{k^2} - \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)} \right]} \)
+) Nếu k2 = GA2+GB2+GC2 thì tập hợp các điểm M chỉ gồm một phần tử là G.
+) Nếu k2 < GA2+GB2+GC2 thì tập hợp điểm M là tập rỗng.
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247