Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 10
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.
a) Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}= \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
B) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R
Với bài 3, chúng ta sẽ sử dụng tính chất hai vec tơ vuông góc với nhau thì tính vô hướng của chúng bằng 0.
.png)
Câu a:
Ta có:
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})\)
\(=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}\)
Mặc khác ta có AB là đường kính, M là điểm nằm trên đường tròn:
\(\Rightarrow \widehat{AMB}=90^o\Rightarrow \overrightarrow{AI}\perp \overrightarrow{BM}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}=0\)
Vậy:
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\)
Đối với điểm N cũng là điểm thuộc đường tròn, vì thế tương tự ý trên, ta cũng suy ra được:
\(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}= \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
Câu b:
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}(cmt)\)
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BI})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}^2=AB^2=4R^2\)
-- Mod Toán 10
Copyright © 2021 HOCTAP247