Bài tập 5 trang 70 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 5 trang 70 SGK Hình học 10 NC

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO.

\(\begin{array}{l}
B{N^2} = B{C^2} + N{C^2}\\
 = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\\
B{M^2} = B{O^2} + O{M^2}\\
 = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\\
 \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}
\end{array}\)

Kẻ MP // AD ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
M{N^2} = M{P^2} + P{N^2}\\
 = {\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} = \frac{{10{a^2}}}{{16}}
\end{array}\\
{ \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}}
\end{array}\)

b) Ta có

MB = MN, BN² = MB²+MN² nên tam giác BMN vuông cân tại M.

Diện tích tam giác BMN là

\({S_{BMN}} = \frac{1}{2}M{N^2} = \frac{1}{2}.\frac{{10{a^2}}}{{16}} = \frac{{5{a^2}}}{{16}}\)

c) Ta có I là trọng tâm tam giác BCD nên \(IC = \frac{2}{3}IO = \frac{2}{3}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) 

d) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{BN}}{{\sin BDN}} = 2R\\
 \Rightarrow R = \frac{{BN}}{{2\sin {{45}^0}}}\\
 = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}
\end{array}\)

-- Mod Toán 10