Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu

Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.

Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:

a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.

b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng nó.

c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cnah góc vuông.

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng  bằng 10 cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều canh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

Một hình trụ có bán kính r và chiều cao \(h = r \sqrt {3}\).

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) TÍnh thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30⁰. TÍnh khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;r) và (O';r). Khoảng cách giữa hai đáy là \(\small OO' = r.\sqrt{3}.\) Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O;r).

a) Gọi S₁ là diện tích xung quanh của hình trụ và S₂ là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \(\small \frac{S_2}{S_1}\).

b) Mặt xung quanh của hình nónchia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.

Căt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a \sqrt {2}\).

a) Tính diện tích xuang quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón twong ứng.

b) Cho một dây cung BC và đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60. Tính diện tích hình vuông và mặt phẳng đáy.

Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước

Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

a) Chứng minh rằng MA>MB = MC>MD.

b) GỌi MO = d. Tính MA>MB theo r và d.

Gọi mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt (p) tại A và B. Chứng minh rằng .

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến cưa mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.

Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.

Cho một điểm A cố định và một đường thẳng α cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên \(\alpha\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O và bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó

Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho (ACB)=90^o.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.

b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.

c) AB không phải là đường kính của mặt cầu.

d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.

Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu có đường kính OO'. 

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Diện tích S là.

(A) \(\pi a^2\)

(B) \(\pi a^2\sqrt{2}\)

(C) \(\pi a^2\sqrt{3}\)

(D) \(\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}\)  

Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh b khi quay quanh trục AA'. Diện tích S là:

(A) \(\pi b^2\)

(B) \(\pi b^2 \sqrt{2}\)

(C) \(\pi b^2 \sqrt{3}\)

(D) \(\pi b^2 \sqrt{6}\)

Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với (ABC) và có SA = a, AB = b và AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng

(A) \(\frac{2(a+b+c)}{3}\)                                 (B) \(2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(C) \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)                          (D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian nhưng luôn luôn thoả mãn điều kiện \(\widehat{MAB}=\alpha\) với \(0^0<\alpha < 90^0\). Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:

(A) Mặt nón

(B) Mặt trụ

(C) Mặt cầu

(D) Mặt phẳng

Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) vô số

Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

(A) Hình chóp tam giác (tứ diện);

(B) Hình chóp ngũ giác đều;

(C) Hình chóp tứ giác;

(D) Hình hộp chữ nhật

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

(A) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{3}\)

(B) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{2}}{2}\)

(C) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{2}\)

(D) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{6}}{2}\)

Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó là:

(A) \(\pi a^2\)

(B) \(2 \pi a^2\)

(C) \(\frac{1}{2} \pi a^2\)

(D) \(\frac{3}{4} \pi a^2\)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào SAI?

(A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng;

(B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu;

(C) Có vô số mặt phẳng cắt một mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau;

(D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.

Cho hình trụ có bán kính r; O, O' là tâm của hai đáy OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy của hình trụ tại O và O'. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ;

(B) Diện tích mặt cầy bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích toàn phần của hình trụ;

(C) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích khối trụ;

(D) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{2}{3}\) thể tích khối trụ;

Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu được tính theo công thức:

(A) \(r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(B) \(r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(C) \(r=\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}\)

(D) \(r=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{3}\)

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích khối trụ đó là:

(A) \(\frac{1}{2} \pi a^3\)

(B) \(\frac{1}{4} \pi a^3\)

(C) \(\frac{1}{3} \pi a^3\)

(D) \(\pi a^3\)

Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, còn ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:

(A) \(\frac{1}{2}\pi a^2\sqrt{3}\)

(B) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{2}\)

(C) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}\)

(D) \(\pi a^2\sqrt{3}\)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

(A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện bất kì.

(B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều.

(C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.

(D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S₁/S₂ bằng:

(A) 1

(B) 2

(C) 1,5

(D) 1,2

Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa đều tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:

(A) \(16 \pi r^2\)

(B) \(18 \pi r^2\)

(C) \(9 \pi r^2\)

(D) \(36 \pi r^2\)​

Cho ba điểm A, C, B nẳm trên một mặt cầu, biết rằng góc \(\widehat{ACB}=90^o\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

(A) AB là một đường kính của mặt cầu.

(B) Luôn luông có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

(C) Tam giác ABC vuông cân tại C.

(D) Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn.

Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \(\alpha \).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.

b) Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho \(\frac{{DI}}{{DO}} = k(0 < k < l)\). Tính diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.

Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón đó.

b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 60⁰. Tính diện tích thiết diện được tạo nên.

Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là \(\alpha \). Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và \(\alpha \).

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc \(\widehat {SAB} = \alpha (\alpha  > {45^0})\). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.

Chứng minh rằng trong một khối nón tròn xoay, góc ở đỉnh là góc lớn nhất trong số các góc được tạo nên bởi hai đường sinh của khối nón đó.

Cho khối nón có bán kính đáy r = 12cm và có góc ở đỉnh là \(\alpha  = {120^0}\). Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

Cho mặt phẳng (P). Gọi A là một điểm nằm trên (P) và B là một điểm nằm ngoài (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) không trùng với A. Một điểm M chạy trên mặt phẳng (P) sao cho góc \(\widehat {ABM} = \widehat {BMH}\). Chứng minh rằng điểm M luôn luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB.

Cho mặt trụ tròn xoay \((\Im )\) và một điểm S cố định nằm ngoài \((\Im )\). Một đường thẳng d thay đổi luôn luôn đi qua S cắt \((\Im )\) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng \(r\sqrt 3 \).

Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.

b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.

c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.

Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao \(h = r\sqrt 2 \). Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này.

b) Gọi \((\alpha )\)$$ là mặt phẳng qua AB và song song với  OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng \((\alpha )\)$$.

c) Chứng minh rằng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt trụ trục OO’ có bán kính bằng \(\frac{{r\sqrt 2 }}{2}\) dọc theo một đường sinh.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.

Hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = SB = SC = a và có góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng \(\alpha \). Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp. Các mặt bên SAB , SBC , SCA cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?

Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.

Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ′ có AA' là đoạn vuông góc chung, trong đó A ∈ Δ và A′ ∈ Δ′. Gọi \((\alpha )\)$$ là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với Δ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\) lần lượt cắt Δ và Δ′  tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\) là M₁.

a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M₁. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc \(\varphi  = ({\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}})\)

b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c

c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\)${\mathrm{}}^{}$ và b = c

Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C)

a) Chứng minh các tổng AD² + BC² và AC² + BD² có giá trị không đổi.

b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?

c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).

Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \). Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC.

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD.

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và \((\alpha )\) bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi \((\alpha )\)$$ và hình cầu.

b) Đường thẳng  đi qua A vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)$$ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.

Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho \(AH = \frac{{4r}}{3}\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

a) Tính diện tích của hình tròn (C).

b) Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A’.BCD.

Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) và BD ⊥ BC. Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành ? Hãy kể tên các hình nón đó.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h. 

a) Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.

Trong mặt phẳng \((\alpha )\), cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \((\alpha )\) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \((\alpha )\) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′. Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ và Δ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M₁ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 30⁰.

Cho đường tròn tâm O bán kính r′. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

a) Tính bán kính r của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp.

b) Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABC.D và A’B’C’D’.

b) Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh  của hình lập phương.

c) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng  AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.

b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách trục một khoảng bằng \(\frac{r}{2}\). Tính diện tích thiết diện thu được.

c) Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO’ theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S₁ là diện tích 6 mặt của hình lập phương, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng:

A. \(\frac{\pi }{6}\)                       B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{\pi }{2}\)                       D. \(\pi \)

Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón tròn xoay còn ba đỉnh còn lại của tứ diện nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là:

A. \(\frac{1}{3}\pi {a^2}\sqrt 3 \)                B. \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)

C. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)                D. \(\frac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 3 \)

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của hình tứ diện bất kì.

B. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là một tứ giác lồi.

C. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.

D. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình chóp đều.

Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng \(\widehat {ACB} = {90^0}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.

B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

C. Tam giác ABC vuông cân tại C.

D. AB là đường kính của một đường tròn lớn trên mặt cầu đã cho.

Cho tứ diện ABCD$ABCD$ có AD ⊥ (ABC) và BD ⊥ BC. Khi quay tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành? 

A. Một                         B. Hai

C. Ba                           D. Bốn

Khẳng định nào sau đây là sai?

Các hình chóp nào sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu:

A. Hình chóp tam giác

B. Hình chóp đều ngũ giác

C. Hình chóp tứ giác

D. Hình chóp đều n− giác.

Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó xung quanh trục là AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành?

A. Một                B. Hai

C. Ba                 D. Không có hình nón nào.

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả banh, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:

A. 1                   

B. 5

C. 2                   

D. Tỉ số là một số khác.

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Diện tích của mặt cầu (S) theo a, b, c là:

A. \(\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

B. \(2\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

C. \(4\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

D. \(\frac{\pi }{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)$$. Gọi d là khoảng cách từ O tới \(\left( \alpha  \right)\)$$. Khi d < R thì mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng:

A. \(\sqrt {{R^2} + {d^2}} \)             

B. \(\sqrt {{R^2} - {d^2}} \)

C. \(\sqrt {Rd} \)                     

D. \(\sqrt {{R^2} - 2{d^2}} \)

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(BC = 2a\) và \(\hat B = {30^0}\). Quay tam giác vuông này quanh trục AB, ta được một hình nón đỉnh B. Gọi S₁ là diện tích toàn phân của hình nón đó và S₂ là diện tích mặt cầu có đường kính AB. Khi đó, tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:

A. 1                         

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{2}{3}\)                     

D. \(\frac{3}{2}\)

Cho một hình nón với thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a có diện tích xung quanh là S₁ và một mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón có diện tích S₂. Khi đó hệ thức giữa S₁ và S₂ là:

A. S₁ = S₂                 

B. S₁ = 4S₂

C. S₂ = 2S₁               

D. 2S₂ = 3S₁

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)                     

B. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}\)

C. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)                     

D. \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng \(a\sqrt 2 \) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Diện tích xung quanh S_xq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:

A. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

B. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 2 ,V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

D. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và \(AC = a\sqrt 3 \). Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB, ta được một khối nón có độ dài đường sinh là:

A. \(l = 2a \)                          B. \(l = a\sqrt 2 \)

C. \(l = a\sqrt 3 \)                      D. \(l = a \)

Cho hình trụ có bán kính đáy a và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là:

A. \(3\pi {a^2}\)${\mathrm{}}^{}$                       B. \(2\pi {a^2}\)

C. \(4\pi {a^2}\)${\mathrm{}}^{}$                        D. \(\pi {a^2}\)

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện đi qua trục là một hình vuông. Thể tích khối trụ là:

A. \(2\pi {a^3}\)                       B. \(\frac{2}{3}\pi {a^3}\)

C. \(4\pi {a^3}\)${\mathrm{}}^{}$                       D. \(\pi {a^3}\)

Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB ⊥ BC, BC ⊥ CD, CD ⊥ AB. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Tính bán kính mặt cầu đó nếu AB = a, BC = b, CD = c.

a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A, B cho trước.

b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A, B, C cho trước.

c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước.

d) Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn.

Cho điểm M nằm trong mặt cầu (S). Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Mọi mặt phẳng đi qua điểm M đều cắt (S) theo một đường tròn.

b) Mọi đường thẳng đi qua M đều cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d. Xét các mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên d. Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn.

b) Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu.

a) Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện ABCD thì AB + CD = AC + BD = AD + BC

a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

b) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A′, B′, C′, D′ cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.

Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.

a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)

Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

a) Chứng minh rằng một hình trụ lăng trụ có mặt cầu cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn.

b) Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất?

Chứng ming rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng.

Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay:

a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.

b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Cho đường tròn (O; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.

Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ.

c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao \(R\sqrt 3 \)

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tình thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30⁰. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.

Trong mỗi trường hợp sau, hãy gọi tên hình tròn xoay:

a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.

b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

Cho điểm A nằm trong mặt cầu S. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu S luôn nằm trên một mặt nón xác định.

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AB = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC.

Cho mp (P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\)

Cho hai đường tròn (O;r) và (O′;r′) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P′).

a) Chứng minh rằng có mặt cầu (S) đi qua hai đường tròn đó.

b) Tìm bán kính R của mặt cầu (S) khi 

\(r = 5,r' = \sqrt {10} ,AB = 6,OO\prime  = \sqrt {21} \)

Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh aa khi quay quanh một đường cao của tam giác đó.

a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi V₁, V₂, V₃ là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.

a) Tính V₁, V₂, V₃ theo b, c

b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{V_3^2}} = \frac{1}{{V_1^2}} + \frac{1}{{V_2^2}}\)

Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?

A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.

Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì

(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.

(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất.

(C) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.

(D) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.

Một hình cầu có thể tích \(\frac{4}{3}\pi \) ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?

(A) \(\frac{{8\sqrt 3 }}{9}\) 

(B) \(\frac{8}{3}\)

(C) \(1\)

(D) \(2\sqrt 3 \)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(B) Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(C) Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(D) Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)

(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

(D) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC$ABC$ và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng a là:

Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.

(B) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.

(C) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.

(D) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là:

(A) Hai đường thẳng song song

(B) Một mặt cầu

(C) Một mặt trụ

(D) Một mặt nón

Cho hai điểm phân biệt A, B cố định và phân biệt. Một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng AB². Gọi H là hình chiếu của B trên l. Tập hợp điểm H là:

(A) Một mặt phẳng

(B) Một mặt trụ

(C) Một mặt nón

(D) Một đường tròn

Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trước, xét đường thẳng l thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 30⁰. Tập hợp các đường thẳng l trong không gian là:

(A) Một mặt phẳng

(B) Hai đường thẳng

(C) Một mặt trụ

(D) Một mặt nón.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, đường cao \({\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \). Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 30⁰. A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm I của AB là:

(A) Một mặt trụ

(B) Một mặt cầu

(C) Một đường tròn

(D) Một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho \(\widehat {AMB} = {90^0}\). Khi ấy, tập hợp điểm M là:

(A) Một đường tròn

(B) Một mặt trụ

(C) Một mặt nón

(D) Một mặt cầu

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh AA’ bằng:

(A) \(\pi {a^2}\sqrt 6 \)

(B) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \)

(C) \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)

(D) \(\pi {a^2}\sqrt 5 \)

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là:

(A) Một mặt nón cố định

(B) Một mặt phẳng cố định

(C) Một mặt trụ cố định

(D) Một đường tròn cố định

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao OO’. Cắt hình trụ đó bằng mp \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng bằng h cho trước (h < R). Khi ấy, mp \(\left( \alpha  \right)\) có tính chất:

(A) Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định;

(B) Luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoáng h ;

(C) Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ;

(D) Cả ba tính chất trên đều sai.

Một khối trụ có bán kính đáy \(a\sqrt 3 \), chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là:

(A) \(8\sqrt 6 \pi {a^3}\)

(B) \(6\sqrt 6 \pi {a^3}\)

(C) \(\frac{4}{3}\sqrt 6 \pi {a^3}\)

(D) \(4\sqrt 3 \pi {a^3}\)

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là

(A) \(\sqrt 3 \)

(B) \(2\sqrt 3 \)

(C) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(D) \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là

(A) \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)  

(B) \(\frac{{a\sqrt 2}}{4}\)

(C) \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

(D) \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có bán kính bằng

(A) \(\frac{{a\sqrt[3]{{2\sqrt 3 }}}}{4}\)

(B) \(\frac{{a\sqrt[3]{3}}}{8}\)

(C) \(\frac{{a\sqrt[3]{{2\sqrt 3 }}}}{8}\)

(D) \(\frac{{a\sqrt[3]{{2\sqrt 3 }}}}{2}\)

Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90⁰. cắt hình nón bằng mặt phẳng (a) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (a) và mặt đáy hình nón bằng 60⁰. Khi đó diện tích thiết diện là

(A) \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}{a^2}\)

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)

(C) \(\frac{2}{3}{a^2}\)

D) \(\frac{3}{2}{a^2}\)

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60⁰. Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

(A) \(\frac{{3\pi {a^2}}}{2}\)

(B) \(\frac{{3\pi {a^2}}}{4}\)

(C) \(\frac{{3\pi {a^2}}}{6}\)

(D) \(\frac{{3\pi {a^2}}}{8}\)

Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là

(A) \(\frac{2}{3}\)

(B) \(\frac{3}{2}\)

(C) \(2\)

(D) \(\frac{1}{2})

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp(ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. Diện tích hình vuông đó là

(A) \(\frac{{5{R^2}}}{2}\)

$\frac{\mathrm{}}{}$(B) \(5{R^2}\)

(C) \(\frac{{5{R^2}\sqrt 2 }}{2}\)

(D) \(5{R^2}\sqrt 2 \)

Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c. Thể tích của khối trụ là

(A) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\)  

(B) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\)

(C) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)

(D) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\) hoặc \(\frac{1}{4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\) 

hoặc \(\frac{1}{4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)

Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một khối nón. Thể tích khối nón là

(A) \(\frac{{\sqrt 3 }}{{27}}\pi {a^3}\)

(B) \(\frac{{\sqrt 6 }}{{27}}\pi {a^3}\)

(C) \(\frac{{\sqrt 3 }}{9}\pi {a^3}\)

${\mathrm{}}^{}$(D) \(\frac{{\sqrt 6 }}{9}\pi {a^3}\)

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 120⁰. Trên đường tròn đáy, lấy một điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí của M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất ?

(A) Có 1 vị trí

(B) Có 2 vị trí

(C) Có 3 vị trí

(D) Có vô số vị trí.